4. 如图,在△ABC中,AB= AC,∠A= 36°,BD平分∠ABC交AC于点E,CD平分∠ACB交BE于点D,图中有个等腰三角形.

6

在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，则∠ABC=∠ACB=72°。
1. △ABC：AB=AC，等腰三角形。
2. BD平分∠ABC，∠ABD=∠DBC=36°，在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，则AD=BD，等腰三角形。
3. CD平分∠ACB，∠ACD=∠DCB=36°，在△BCD中，∠DBC=∠DCB=36°，则BD=CD，等腰三角形。
4. 在△ABE中，∠A=∠ABE=36°，则AE=BE，等腰三角形。
5. 在△BEC中，∠BEC=180°-∠EBC-∠BCE=72°，∠BCE=72°，则∠BEC=∠BCE，BC=BE，等腰三角形。
6. 在△CDE中，∠CDE=180°-∠ECD-∠DEC=72°，∠DEC=72°，则∠CDE=∠DEC，CD=CE，等腰三角形。
综上，共有6个等腰三角形。

5. 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(4,0),在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形,符合条件的C点有个.

4

设点C坐标为(0,c)，A(0,2)，B(4,0)。
计算各边长：
$AC = |c - 2|$，
$AB = \sqrt{(4-0)^2 + (0-2)^2} = 2\sqrt{5}$，
$BC = \sqrt{(0-4)^2 + (c-0)^2} = \sqrt{c^2 + 16}$。
分三种情况讨论等腰三角形：
1. $AB = AC$：$|c - 2| = 2\sqrt{5}$，解得$c = 2 \pm 2\sqrt{5}$（2个点）；
2. $AB = BC$：$\sqrt{c^2 + 16} = 2\sqrt{5}$，解得$c = \pm 2$，$c=2$与A重合舍去，故$c = -2$（1个点）；
3. $AC = BC$：$|c - 2| = \sqrt{c^2 + 16}$，解得$c = -3$（1个点）。
综上，符合条件的C点共4个。

6. 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a,顶角的平分线的长为b,求作这个等腰三角形.

1. 作线段BC，使BC=a；
2. 分别以B、C为圆心，大于1/2BC的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，交BC于点D（D为BC中点）；
3. 在上述直线上，以D为端点，截取DA=b（A与BC在直线异侧）；
4. 连接AB、AC，△ABC即为所求等腰三角形。

7. 如图,∠BAC= ∠ABD,AC= BD,点O是AD,BC的交点,点E是AB的中点. 试判断OE和AB的位置关系,并说明理由.

OE⊥AB.
理由如下：
在△BAC和△ABD中，
∵AC=BD，∠BAC=∠ABD，AB=BA，
∴△BAC≌△ABD(SAS)，
∴∠ABC=∠BAD，
∴OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵点E是AB的中点，
∴OE⊥AB(等腰三角形三线合一).

8. (1)如图1,在△ABC中,AB= AC= 10,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,过点D作EF//BC,分别交AB,AC于E,F两点,则图中共有个等腰三角形；EF,BE,CF三者之间的数量关系是,△AEF的周长是.


(2)如图2,若将(1)中“在△ABC中,AB= AC= 10”改为“若△ABC为不等边三角形,AB= 8,AC= 10”其余条件不变,则图中共有个等腰三角形；EF,BE,CF三者之间的数量关系是什么？证明你的结论,并求出△AEF的周长.

(1)5；EF=BE+CF；20；(2)2；EF=BE+CF；18

(1)①∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；∵EF//BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∵∠ABC=∠ACB，∴∠AEF=∠AFE，∴△AEF是等腰三角形；∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∵EF//BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴△EBD是等腰三角形，EB=ED；同理，△FDC是等腰三角形，FC=FD；∵∠ABC=∠ACB，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠DBC=∠DCB，∴△DBC是等腰三角形。综上，共5个等腰三角形。②由①知EB=ED，FC=FD，∴EF=ED+DF=BE+CF。③△AEF周长=AE+EF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=10+10=20。
(2)①BD平分∠ABC，EF//BC，∴∠EBD=∠EDB，△EBD是等腰三角形；同理△FDC是等腰三角形，共2个。②∵△EBD等腰，∴EB=ED；△FDC等腰，∴FC=FD，∴EF=ED+DF=BE+CF。③△AEF周长=AE+EF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=8+10=18。