22. (本题10分)
如图,在$□ ABCD$中,点$E是AD$的中点,连接$CE$,点$G为AB$上一点,$\angle BGC = 2\angle DCE$,在$CG上取一点F$,使$CF = CD$,连接$EF$。请判断线段$AG与GF$的大小关系,并证明你的结论。

AG=GF。
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，∠A=∠BCD，AD=BC，AB=CD。
设∠DCE=α，∵∠BGC=2α，AB//CD，
∴∠BGC+∠GCD=180°（同旁内角互补），∠AGC=∠GCD（内错角相等）。
∴∠GCD=180°-2α，∠AGC=180°-2α。
在△BGC中，∠B=∠D=180°-∠A，∠BCG=∠BCD-∠GCD=∠A-(180°-2α)，
由内角和定理：∠B+∠BGC+∠BCG=180°，
即(180°-∠A)+2α+(∠A-180°+2α)=180°，化简得4α=180°，∴α=45°。
∴∠DCE=45°，∠GCD=180°-2×45°=90°，∠GCE=∠GCD-∠DCE=45°=∠DCE。
∵CF=CD，CE=CE，∠DCE=∠FCE，
∴△DCE≌△FCE（SAS），∴ED=EF，∠CDE=∠CFE。
∵E是AD中点，∴AE=ED，∴AE=EF。
∵AB//CD，∴∠A+∠CDE=180°，又∠CFE+∠GFE=180°，∠CDE=∠CFE，
∴∠A=∠GFE。
在△AEF中，AE=EF，∴∠EAF=∠EFA=∠A=∠GFE，
∴∠GAF=∠GFA，∴AG=GF。
结论：AG=GF。