11. $-1^{2}+(\pi - 2024)^{0}+2\sin 60^{\circ }-|1-\sqrt{3}| = $.

$1$。

首先计算各项：
$-1^{2} = -1$（注意，这里 $-1^{2}$ 实际上是 $- (1^{2}) = -1$，而不是 $(-1)^{2} = 1$）；
$(\pi - 2024)^{0} = 1$（任何非零数的零次幂都是1）；
$2\sin 60^{\circ} = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$（$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$）；
$|1-\sqrt{3}| = \sqrt{3} - 1$（因为 $\sqrt{3} ＞ 1$，所以 $1 - \sqrt{3}$ 是负数，其绝对值为 $\sqrt{3} - 1$）。
将以上各项相加，得到：
$-1 + 1 + \sqrt{3} - (\sqrt{3} - 1) = -1 + 1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 = 1$。

12. 使$\frac{\sqrt{x - 3}}{x - 4}$有意义的实数x的取值范围是.

$x \geq 3$且$x \neq 4$（或写为$[3,4) \cup (4,+\infty)$）

要使$\frac{\sqrt{x - 3}}{x - 4}$有意义，需满足以下条件：
1. 分母$x - 4 \neq 0$，即$x \neq 4$；
2. 被开方数$x - 3 \geq 0$，即$x \geq 3$。
综合以上两个条件，得$x \geq 3$且$x \neq 4$。

13. 一个圆锥的底面半径为2,母线长为6,则它的侧面展开图的圆心角的度数是.

120

圆锥底面半径$r = 2$，则底面周长$C=2\pi r = 2\pi×2 = 4\pi$，设圆心角度数为$n$，根据弧长公式$l=\frac{n\pi R}{180}$（$R$为母线长），已知$R = 6$，$l = 4\pi$，则$\frac{n\pi×6}{180}=4\pi$，解得$n = 120$。

14. 如图,在正方形ABCD中,分别以点A和B为圆心,以大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧,两弧相交于点E和F,作直线EF,再以点A为圆心,以AD的长为半径作弧交直线EF于点G(点G在正方形ABCD内部),连接DG并延长交BC于点K.若$BK = 2$,则正方形ABCD的边长为.

$\sqrt{3}+1$

设正方形ABCD的边长为$a$，以A为原点建立坐标系，$A(0,0)$，$B(a,0)$，$D(0,a)$，$C(a,a)$。
直线EF为AB的垂直平分线，方程为$x=\frac{a}{2}$。以A为圆心、AD长为半径（即半径$a$）的圆方程为$x^2+y^2=a^2$，与EF交于点$G$（内部），代入$x=\frac{a}{2}$得$G\left(\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2}\right)$。
直线DG过$D(0,a)$和$G\left(\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2}\right)$，斜率$k=\sqrt{3}-2$，方程为$y=(\sqrt{3}-2)x+a$。
BC方程为$x=a$，代入DG方程得$K(a,a(\sqrt{3}-1))$。$BK=a(\sqrt{3}-1)=2$，解得$a=\sqrt{3}+1$。

15. 如图,ABCD是一张平行四边形纸片,其高$AG = \sqrt{3} cm$,底边$BC = (5 + \sqrt{3}) cm,∠B = 45^{\circ}$.在数学综合实践课上,小颖沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形.若$∠BEF = 30^{\circ}$,则AF的长为__________ cm.

4

设AF=x，过A作AG⊥BC于G，在Rt△ABG中，∠B=45°，AG=√3，故BG=AG=√3，GC=BC-BG=5。以G为原点建立坐标系，各点坐标：A(0,√3)，B(-√3,0)，C(5,0)，D(5+√3,√3)，F(x,√3)，E(e,0)。由梯形全等得AF=EC且BE=DF，即x=5-e，e+√3=5+√3-x，联立得e=5-x。∠BEF=30°，在Rt△EHF中，tan30°=√3/|x-e|=√3/3，故|x-e|=3。将e=5-x代入得|2x-5|=3，解得x=4（x=1舍去，因E需在G右侧）。

16. 如图,在矩形ABCD中,E是AB上一点,连接DE,将$\triangle ADE$沿DE翻折,恰好使点A落在BC边的中点F处,在DF上取点O,以O为圆心,OF长为半径作半圆与CD相切于点G.若$AD = 4$,则图中阴影部分的面积为.

$\frac{18\sqrt{3} - 16\pi}{27}$

1. 求矩形边长：
由翻折性质得 $DF = AD = 4$。F为BC中点，$FC = \frac{BC}{2} = 2$。在 $Rt\triangle DFC$ 中，$DC = \sqrt{DF^2 - FC^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}$，即矩形长 $AB = DC = 2\sqrt{3}$。
2. 求半圆半径：
设半圆半径为 $r$，圆心 $O$ 在 $DF$ 上，坐标为 $(r\sqrt{3}, r)$（由 $DF$ 方程 $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ 及 $OG = r$ 得）。由 $OF = r$，利用两点距离公式：
$ (2\sqrt{3} - r\sqrt{3})^2 + (2 - r)^2 = r^2 $
解得 $r = \frac{4}{3}$（舍去 $r = 4$）。
3. 求阴影部分面积：
$CG = DC - DG = 2\sqrt{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\triangle FCG$ 面积为 $\frac{1}{2} × 2 × \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$。
扇形 $FOG$ 圆心角 $\angle FOG = 120°$（由几何关系得），面积为 $\frac{120}{360} \pi \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16\pi}{27}$。
阴影面积 = $\triangle FCG$ 面积 - 扇形 $FOG$ 面积 = $\frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{16\pi}{27} = \frac{18\sqrt{3} - 16\pi}{27}$。

17. (6分)先化简,再求值:$\frac{m^{3} - 2m^{2}}{m^{2} - 4m + 4} ÷ (\frac{9}{m - 3} + m + 3)$,其中m是已知两边边长分别为2和3的三角形的第三边的边长,且m是整数,求m的值.

原式：
$\frac{m^{3} - 2m^{2}}{m^{2} - 4m + 4} ÷ (\frac{9}{m - 3} + m + 3)$
$=\frac{m^{2}(m - 2)}{(m - 2)^{2}} ÷ (\frac{9}{m - 3} + \frac{m^{2} - 9}{m - 3})$
$=\frac{m^{2}(m - 2)}{(m - 2)^{2}} ÷ \frac{m^{2}}{m - 3}$
$=\frac{m^{2}(m - 2)}{(m - 2)^{2}} × \frac{m - 3}{m^{2}}$
$=\frac{m - 3}{m - 2}$
根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即：
$3-2\lt m\lt 3 + 2$
$1\lt m\lt 5$
因为$m$是整数且使原式有意义，$m - 2\neq0$，$m - 3\neq0$，所以$m = 4$。
当$m = 4$时，原式$=\frac{4 - 3}{4 - 2}=\frac{1}{2}$。
综上，$m$的值为$4$，式子的值为$\frac{1}{2}$。