1. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90^{\circ} $,若 $ AC = 2 $, $ BC = 1 $,则 $ \tan A $ 的值是()
A.$ \frac{1}{2} $
B.$ \frac{\sqrt{5}}{5} $
C.$ 2 $
D.$ \frac{\sqrt{5}}{2} $

A

在直角三角形$ABC$中，已知$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 2$，$BC = 1$。
根据正切函数的定义，在直角三角形中，$\tan A = \frac{{对边}}{{邻边}}$。
在$\triangle ABC$中，$\angle A$的对边是$BC$，邻边是$AC$。
代入已知值，得到：
$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}$。

2. 已知直线 $ y = ax (a \neq 0) $ 与双曲线 $ y = \frac{k}{x} (k \neq 0) $ 的一个交点坐标为 $ (3,4) $,则它们的另一个交点坐标是()
A.$ (-3,4) $
B.$ (-4,-3) $
C.$ (-3,-4) $
D.$ (4,3) $

C

已知直线 $ y = ax$ 和双曲线 $ y = \frac{k}{x} $ 的一个交点为 $ (3,4) $，
将 $ (3,4) $ 代入直线方程得 $4 = 3a \Rightarrow a = \frac{4}{3}$，
代入双曲线方程得 $4 = \frac{k}{3} \Rightarrow k = 12$，
因此直线方程为 $y = \frac{4}{3}x$，双曲线方程为 $y = \frac{12}{x}$，
联立方程 $\frac{4}{3}x = \frac{12}{x} \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$，
对应的 $y$ 值为 $y = \pm 4$（与 $x$ 同号），
已知一个交点为 $ (3,4) $，则另一个交点为 $ (-3,-4) $。

3. 在平面直角坐标系中,抛物线 $ y = x^{2} - 1 $ 与坐标轴的交点个数是()
A.3
B.2
C.1
D.0

A

求抛物线与坐标轴交点，即求与x轴和y轴交点。
与y轴交点：令x=0，得y=0²-1=-1，交点为(0,-1)，1个。
与x轴交点：令y=0，得x²-1=0，解得x=±1，交点为(1,0)，(-1,0)，2个。
共3个交点。

4. 如图是由几个大小相同的小立方块搭成的几何体的俯视图,其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数,则这个几何体的主视图是()

D

5. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + c $,当 $ x $ 取 $ x_{1} $, $ x_{2} (x_{1} \neq x_{2}) $ 时,函数值相等,则当 $ x $ 取 $ x_{1} + x_{2} $ 时,函数值为()
A.$ a + c $
B.$ a - c $
C.$ -c $
D.$ c $

D

由题意，当$x$取$x_1$和$x_2$时，函数值相等，即$ax_1^2 + c = ax_2^2 + c$。
化简得$ax_1^2 = ax_2^2$，即$x_1^2 = x_2^2$。
由于$x_1 \neq x_2$，故$x_1 = -x_2$，因此$x_1 + x_2 = 0$。
当$x = x_1 + x_2 = 0$时，$y = a \cdot 0^2 + c = c$。

6. 在 $ \triangle ABC $ 中, $ \sin B = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \cos C = \frac{4}{5} $, $ AC = 5 $,则 $ \triangle ABC $ 的面积为( )

A.13
B.14
C.21
D.10.5

D

在△ABC中，已知sinB=√2/2，cosC=4/5，AC=5。
1. 求角B、角C的三角函数值：
sinB=√2/2，∴∠B=45°（∠B=135°时，∠B+∠C＞180°，舍去）；
cosC=4/5，∠C为锐角，∴sinC=√(1-(4/5)²)=3/5。
2. 正弦定理求边AB：
AC=b=5（∠B的对边），由正弦定理b/sinB=c/sinC（c=AB），得c=AB=(b·sinC)/sinB=(5×3/5)/(√2/2)=3√2。
3. 求∠A的正弦值：
∠A=180°-∠B-∠C=135°-∠C，sinA=sin(135°-∠C)=sin135°cosC+cos135°sinC=(√2/2)(4/5)+(√2/2)(3/5)=7√2/10。
4. 求BC边长：
由正弦定理a/sinA=b/sinB（a=BC），得a=BC=(b·sinA)/sinB=(5×7√2/10)/(√2/2)=7。
5. 计算面积：
面积S=1/2·BC·AB·sinB=1/2×7×3√2×sin45°=1/2×7×3√2×(√2/2)=10.5。