19. (10 分)某公司参加社会公益活动,准备购进一批许愿瓶进行销售,并将所得利润捐助给慈善机构.根据市场调查,这种许愿瓶一段时间内的销售量 $ y $(单位:个)与销售单价 $ x $(单位:元/个)之间的关系式为 $ y = -30x + 600 $.
(1) 若许愿瓶的进价为 $ 6 $ 元/个,按照上述市场调查的销售规律,求销售利润 $ w $(单位:元)与销售单价 $ x $(单位:元/个)之间的函数关系式;
(2) 在(1)的条件下,若许愿瓶的进货成本不超过 $ 900 $ 元,要想获得最大利润,试确定这种许愿瓶的销售单价,并求出此时的最大利润.

(1) 由题意，销售利润 $ w = (x - 6)y $，将 $ y = -30x + 600 $ 代入得：
$ w = (x - 6)(-30x + 600) $
展开化简：
$ w = -30x^2 + 600x + 180x - 3600 = -30x^2 + 780x - 3600 $
(2) 进货成本不超过900元，进价6元/个，故 $ 6y \leq 900 $，解得 $ y \leq 150 $。
由 $ y = -30x + 600 \leq 150 $，得 $ -30x \leq -450 $，即 $ x \geq 15 $。
又销售量非负，$ y = -30x + 600 \geq 0 $，得 $ x \leq 20 $，故 $ x \in [15, 20] $。
$ w = -30x^2 + 780x - 3600 $ 为二次函数，开口向下，对称轴 $ x = -\frac{780}{2 × (-30)} = 13 $。
因 $ x \in [15, 20] $ 在对称轴右侧，$ w $ 随 $ x $ 增大而减小，故当 $ x = 15 $ 时，$ w $ 最大。
此时 $ w = -30(15)^2 + 780(15) - 3600 = 1350 $。
答：(1) $ w = -30x^2 + 780x - 3600 $；(2) 销售单价15元/个时，最大利润1350元。

20. (10 分)如图,在平面直角坐标系中,菱形 $ OBCD $ 的边 $ OB $ 在 $ x $ 轴上,反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象经过菱形对角线的交点 $ A $,且与边 $ BC $ 交于点 $ F $,点 $ A $ 的坐标为 $ (4,2) $.
(1) 求反比例函数的表达式;
(2) 求点 $ F $ 的坐标.

(1) 因为反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 经过点 $ A(4,2) $，将 $ x=4 $，$ y=2 $ 代入得 $ 2 = \frac{k}{4} $，解得 $ k=8 $，所以反比例函数表达式为 $ y = \frac{8}{x} $。
(2) 设点 $ B(b,0) $，菱形对角线交于 $ A(4,2) $，则 $ A $ 为对角线中点。
对于对角线 $ OC $：$ O(0,0) $，设 $ C(c,d) $，由中点坐标公式得 $ \frac{0+c}{2}=4 $，$ \frac{0+d}{2}=2 $，解得 $ C(8,4) $。
对于对角线 $ BD $：设 $ D(e,f) $，由中点坐标公式得 $ \frac{b+e}{2}=4 $，$ \frac{0+f}{2}=2 $，则 $ e=8-b $，$ f=4 $，即 $ D(8-b,4) $。
菱形四边相等，$ OB=OD $，$ OB=b $，$ OD=\sqrt{(8-b)^2+4^2} $，则 $ b=\sqrt{(8-b)^2+16} $，平方得 $ b^2=(8-b)^2+16 $，解得 $ b=5 $，故 $ B(5,0) $，$ D(3,4) $。
直线 $ BC $ 过 $ B(5,0) $，$ C(8,4) $，斜率 $ k=\frac{4-0}{8-5}=\frac{4}{3} $，方程为 $ y=\frac{4}{3}(x-5) $，即 $ y=\frac{4}{3}x-\frac{20}{3} $。
联立 $ \begin{cases} y=\frac{8}{x} \\ y=\frac{4}{3}x-\frac{20}{3} \end{cases} $，得 $ \frac{8}{x}=\frac{4}{3}x-\frac{20}{3} $，整理 $ x^2-5x-6=0 $，解得 $ x=6 $（$ x=-1 $ 舍去），代入 $ y=\frac{8}{6}=\frac{4}{3} $，故 $ F(6,\frac{4}{3}) $。
(1) $ y = \frac{8}{x} $；(2) $ (6,\frac{4}{3}) $