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10. 对于任意的实数$x$,多项式$x^{2} - 5x + 8$的值是一个(
A.非负数
B.正数
C.负数
D.无法确定
B
)A.非负数
B.正数
C.负数
D.无法确定
答案
B
解析
$x^{2}-5x+8$
$=x^{2}-5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}-\left(\frac{5}{2}\right)^{2}+8$
$=\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4}+\frac{32}{4}$
$=\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}+\frac{7}{4}$
因为$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}\geq0$，所以$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}+\frac{7}{4}\geq\frac{7}{4}＞0$，即多项式的值是正数。
B
$=x^{2}-5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}-\left(\frac{5}{2}\right)^{2}+8$
$=\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4}+\frac{32}{4}$
$=\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}+\frac{7}{4}$
因为$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}\geq0$，所以$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}+\frac{7}{4}\geq\frac{7}{4}＞0$，即多项式的值是正数。
B
11. 某种品牌运动服经过两次降价,每件的售价由$560元降为315$元,已知两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率.设每次降价的百分率为$x$,下面所列方程正确的是(
A.$560(1 + x)^{2} = 315$
B.$560(1 - x)^{2} = 315$
C.$560(1 - 2x)^{2} = 315$
D.$560(1 - x^{2}) = 315$
B
)A.$560(1 + x)^{2} = 315$
B.$560(1 - x)^{2} = 315$
C.$560(1 - 2x)^{2} = 315$
D.$560(1 - x^{2}) = 315$
答案
B
解析
设每次降价的百分率为$x$，第一次降价后的价格为$560(1 - x)$元，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，所以第二次降价后的价格为$560(1 - x)(1 - x) = 560(1 - x)^2$元。已知两次降价后售价为$315$元，因此所列方程为$560(1 - x)^2 = 315$。
B
B
12. 某校要组织足球比赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都要比赛一场,计划安排$21$场比赛,应邀请多少个球队参加比赛？设应邀请$x$个球队参加比赛,下面所列方程正确的是(
A.$x^{2} = 21$
B.$\frac{1}{2}x(x - 1) = 21$
C.$\frac{1}{2}x^{2} = 21$
D.$x(x - 1) = 21$
B
)A.$x^{2} = 21$
B.$\frac{1}{2}x(x - 1) = 21$
C.$\frac{1}{2}x^{2} = 21$
D.$x(x - 1) = 21$
答案
B
解析
设应邀请$x$个球队参加比赛。每个球队与其他$(x - 1)$个球队比赛一场，但每场比赛被重复计算两次，所以总比赛场数为$\frac{1}{2}x(x - 1)$。已知计划安排$21$场比赛，因此所列方程为$\frac{1}{2}x(x - 1) = 21$。
B
B
13. 一元二次方程$x^{2} - 3 = 0$的根为
$x_{1}=\sqrt{3},x_{2}=-\sqrt{3}$
.答案
$x_{1}=\sqrt{3},x_{2}=-\sqrt{3}$
14. 设$m$,$n为一元二次方程x^{2} + 2x - 2018 = 0$的两个实数根,则$m^{2} + 3m + n = $
2016
.答案
2016
解析
∵$m$是一元二次方程$x^{2} + 2x - 2018 = 0$的实数根，
∴$m^{2} + 2m - 2018 = 0$，即$m^{2} + 2m = 2018$。
∵$m$，$n$为一元二次方程$x^{2} + 2x - 2018 = 0$的两个实数根，
∴$m + n = -2$。
∴$m^{2} + 3m + n = (m^{2} + 2m) + (m + n) = 2018 + (-2) = 2016$。
2016
15. 对于实数$a$,$b$,我们定义一种运算“※”为$a※b = a^{2} - ab$,例如$1※3 = 1^{2} - 1 × 3$.若$x※4 = 0$,则$x = $
0或4
.答案
0或4
解析
由题意得，$x※4 = x^{2} - 4x$，因为$x※4 = 0$，所以$x^{2} - 4x = 0$，即$x(x - 4) = 0$，解得$x = 0$或$x = 4$。
0或4
0或4
16. 若关于$x的两个方程x^{2} - x - 2 = 0与\frac{1}{x - 2} = \frac{2}{x + a}$有一个解相同,则$a = $
-5
.答案
-5
解析
解方程$x^{2}-x-2=0$，得$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$。
方程$\frac{1}{x - 2} = \frac{2}{x + a}$中$x\neq2$，故相同解为$x=-1$。
将$x=-1$代入$\frac{1}{x - 2} = \frac{2}{x + a}$，得$\frac{1}{-1 - 2}=\frac{2}{-1 + a}$，即$-\frac{1}{3}=\frac{2}{a - 1}$。
解得$a - 1=-6$，$a=-5$。
经检验，$a=-5$是原方程的解。
$-5$
方程$\frac{1}{x - 2} = \frac{2}{x + a}$中$x\neq2$，故相同解为$x=-1$。
将$x=-1$代入$\frac{1}{x - 2} = \frac{2}{x + a}$，得$\frac{1}{-1 - 2}=\frac{2}{-1 + a}$，即$-\frac{1}{3}=\frac{2}{a - 1}$。
解得$a - 1=-6$，$a=-5$。
经检验，$a=-5$是原方程的解。
$-5$
17. 设一元二次方程$y^{2} - 3y + 1 = 0的两个实数根分别为y_{1}$,$y_{2}$,则$(y_{1} - 1)(y_{2} - 1)$的值为
-1
.答案
-1
解析
解：对于一元二次方程$y^{2}-3y + 1=0$，
由韦达定理得：$y_{1}+y_{2}=3$，$y_{1}y_{2}=1$，
$(y_{1}-1)(y_{2}-1)=y_{1}y_{2}-(y_{1}+y_{2}) + 1$
$=1 - 3+1$
$=-1$
$-1$
由韦达定理得：$y_{1}+y_{2}=3$，$y_{1}y_{2}=1$，
$(y_{1}-1)(y_{2}-1)=y_{1}y_{2}-(y_{1}+y_{2}) + 1$
$=1 - 3+1$
$=-1$
$-1$
18. 已知等腰三角形的一边长为$9$,另一边长为一元二次方程$x^{2} - 8x + 15 = 0$的根,则该等腰三角形的周长为
19或21或23
.答案
19或21或23
解析
解方程$x^{2}-8x + 15=0$，得$x=3$或$x=5$。
情况1：腰长为$9$，底边长为$3$。
$9+9＞3$，$9+3＞9$，能构成三角形。
周长为$9 + 9+3=21$。
情况2：腰长为$9$，底边长为$5$。
$9+9＞5$，$9+5＞9$，能构成三角形。
周长为$9 + 9+5=23$。
情况3：腰长为$3$，底边长为$9$。
$3+3=6＜9$，不能构成三角形。
情况4：腰长为$5$，底边长为$9$。
$5+5＞9$，$5+9＞5$，能构成三角形。
周长为$5 + 5+9=19$。
19或21或23
情况1：腰长为$9$，底边长为$3$。
$9+9＞3$，$9+3＞9$，能构成三角形。
周长为$9 + 9+3=21$。
情况2：腰长为$9$，底边长为$5$。
$9+9＞5$，$9+5＞9$，能构成三角形。
周长为$9 + 9+5=23$。
情况3：腰长为$3$，底边长为$9$。
$3+3=6＜9$，不能构成三角形。
情况4：腰长为$5$，底边长为$9$。
$5+5＞9$，$5+9＞5$，能构成三角形。
周长为$5 + 5+9=19$。
19或21或23
19.(本小题满分7分)
已知关于$x的一元二次方程x^{2} - (k + 1)x - 6 = 0的一个根为2$,求$k$的值及方程的另一个根.
已知关于$x的一元二次方程x^{2} - (k + 1)x - 6 = 0的一个根为2$,求$k$的值及方程的另一个根.
$k=-2$,方程的另一个根为-3.
答案
$k=-2$,方程的另一个根为-3.
解析
把$x = 2$代入方程$x^{2}-(k + 1)x-6=0$，得$2^{2}-(k + 1)×2-6 = 0$，即$4-2k-2-6=0$，化简得$-2k-4 = 0$，解得$k=-2$。
原方程为$x^{2}-(-2 + 1)x-6=0$，即$x^{2}+x-6 = 0$。分解因式得$(x + 3)(x-2)=0$，解得$x_{1}=-3$，$x_{2}=2$。
$k$的值为$-2$，方程的另一个根为$-3$。
原方程为$x^{2}-(-2 + 1)x-6=0$，即$x^{2}+x-6 = 0$。分解因式得$(x + 3)(x-2)=0$，解得$x_{1}=-3$，$x_{2}=2$。
$k$的值为$-2$，方程的另一个根为$-3$。
