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1. 用公式法解方程 $x^{2}-4x - 2 = 0$,其中 $b^{2}-4ac$ 的值是 (
A.16
B.24
C.8
D.4
B
)A.16
B.24
C.8
D.4
答案
B
解析
在方程$x^{2}-4x - 2 = 0$中，$a=1$，$b=-4$，$c=-2$。
$b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×1×(-2)=16 + 8=24$
B
$b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×1×(-2)=16 + 8=24$
B
2. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2}-x - m = 0$ 没有实数根,则 $m$ 的值可以为 (
A.$-1$
B.$-\frac{1}{4}$
C.0
D.1
A
)A.$-1$
B.$-\frac{1}{4}$
C.0
D.1
答案
A
解析
对于方程$x^{2}-x - m = 0$，其判别式$\Delta=(-1)^{2}-4×1×(-m)=1 + 4m$。
因为方程没有实数根，所以$\Delta＜0$，即$1 + 4m＜0$，解得$m＜-\frac{1}{4}$。
选项中只有$-1＜-\frac{1}{4}$，所以$m$的值可以为$-1$。
A
因为方程没有实数根，所以$\Delta＜0$，即$1 + 4m＜0$，解得$m＜-\frac{1}{4}$。
选项中只有$-1＜-\frac{1}{4}$，所以$m$的值可以为$-1$。
A
3. (2021 广安中考)关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + 2)x^{2}-3x + 1 = 0$ 有实数根,则 $a$ 的取值范围是 (
A.$a\leq\frac{1}{4}$ 且 $a\neq - 2$
B.$a\leq\frac{1}{4}$
C.$a＜\frac{1}{4}$ 且 $a\neq - 2$
D.$a＜\frac{1}{4}$
A
)A.$a\leq\frac{1}{4}$ 且 $a\neq - 2$
B.$a\leq\frac{1}{4}$
C.$a＜\frac{1}{4}$ 且 $a\neq - 2$
D.$a＜\frac{1}{4}$
答案
A
解析
因为方程$(a + 2)x^{2}-3x + 1 = 0$是一元二次方程，所以二次项系数$a + 2 \neq 0$，即$a \neq -2$。
又因为方程有实数根，所以判别式$\Delta = (-3)^{2} - 4(a + 2) × 1 \geq 0$，
即$9 - 4(a + 2) \geq 0$，
$9 - 4a - 8 \geq 0$，
$1 - 4a \geq 0$，
$-4a \geq -1$，
$a \leq \frac{1}{4}$。
综上，$a$的取值范围是$a \leq \frac{1}{4}$且$a \neq -2$。
A
又因为方程有实数根，所以判别式$\Delta = (-3)^{2} - 4(a + 2) × 1 \geq 0$，
即$9 - 4(a + 2) \geq 0$，
$9 - 4a - 8 \geq 0$，
$1 - 4a \geq 0$，
$-4a \geq -1$，
$a \leq \frac{1}{4}$。
综上，$a$的取值范围是$a \leq \frac{1}{4}$且$a \neq -2$。
A
4. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-ax+(a - 1)= 0$ 的根的情况是
有两个实数根
。答案
有两个实数根
解析
解：对于一元二次方程$x^{2}-ax+(a - 1)= 0$，
判别式$\Delta = (-a)^{2}-4×1×(a - 1)$
$=a^{2}-4a + 4$
$=(a - 2)^{2}$
因为$(a - 2)^{2}\geq0$，
所以方程有两个实数根。
判别式$\Delta = (-a)^{2}-4×1×(a - 1)$
$=a^{2}-4a + 4$
$=(a - 2)^{2}$
因为$(a - 2)^{2}\geq0$，
所以方程有两个实数根。
5. 关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 1)x^{2}+2x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根,则 $m$ 的取值范围是
$m＞0$且$m\neq 1$
。答案
$m＞0$且$m\neq 1$
解析
解：因为方程是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即$m - 1 \neq 0$，解得$m \neq 1$。
方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta ＞ 0$。其中$a = m - 1$，$b = 2$，$c = -1$，$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(m - 1)(-1) = 4 + 4(m - 1)$。
令$\Delta ＞ 0$，则$4 + 4(m - 1) ＞ 0$，化简得$4 + 4m - 4 ＞ 0$，即$4m ＞ 0$，解得$m ＞ 0$。
综上，$m$的取值范围是$m ＞ 0$且$m \neq 1$。
方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta ＞ 0$。其中$a = m - 1$，$b = 2$，$c = -1$，$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(m - 1)(-1) = 4 + 4(m - 1)$。
令$\Delta ＞ 0$，则$4 + 4(m - 1) ＞ 0$，化简得$4 + 4m - 4 ＞ 0$，即$4m ＞ 0$，解得$m ＞ 0$。
综上，$m$的取值范围是$m ＞ 0$且$m \neq 1$。
6. 用公式法解下列方程：
(1) $x^{2}+2x - 2 = 0$；
(2) $x^{2}+3 = 2\sqrt{2}x$。
(1) $x^{2}+2x - 2 = 0$；
(2) $x^{2}+3 = 2\sqrt{2}x$。
答案
(1)$x_{1}=-1+\sqrt {3},x_{2}=-1-\sqrt {3}$
(2)方程没有实数根
7. 等腰三角形的一边长是 3,另两边的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-4x + k = 0$ 的两个根,则 $k$ 的值为 (
A.3
B.4
C.3 或 4
D.7
C
)A.3
B.4
C.3 或 4
D.7
答案
C
解析
情况1：腰长为3，方程一根为3。
将$x=3$代入方程$x^{2}-4x + k = 0$，得$3^{2}-4×3 + k = 0$，解得$k=3$。
方程为$x^{2}-4x + 3 = 0$，解得另一根为$x=1$。
三边长3，3，1，满足三角形三边关系。
情况2：底边长为3，方程两根为腰长，即方程有两个相等实根。
$\Delta=(-4)^{2}-4k=0$，解得$k=4$。
方程为$x^{2}-4x + 4 = 0$，解得两根均为$x=2$。
三边长2，2，3，满足三角形三边关系。
综上，$k=3$或$4$。
C
将$x=3$代入方程$x^{2}-4x + k = 0$，得$3^{2}-4×3 + k = 0$，解得$k=3$。
方程为$x^{2}-4x + 3 = 0$，解得另一根为$x=1$。
三边长3，3，1，满足三角形三边关系。
情况2：底边长为3，方程两根为腰长，即方程有两个相等实根。
$\Delta=(-4)^{2}-4k=0$，解得$k=4$。
方程为$x^{2}-4x + 4 = 0$，解得两根均为$x=2$。
三边长2，2，3，满足三角形三边关系。
综上，$k=3$或$4$。
C
8. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2}+2(a + 1)x+(a^{2}+4a - 5)= 0$ 有实数根,试求正整数 $a$ 的值。
答案
解:由方程有实数根知$\Delta \geq 0$,故$[2(a+$
1)$]^{2}-4× 1× (a^{2}+4a-5)\geq 0$,整理,得
$-a+3\geq 0$,所以$a\leq 3$。因为a是正整数,
所以$a=1,2,3$。
1)$]^{2}-4× 1× (a^{2}+4a-5)\geq 0$,整理,得
$-a+3\geq 0$,所以$a\leq 3$。因为a是正整数,
所以$a=1,2,3$。
9. 先阅读材料,再解答问题。
解方程：$x^{2}-\vert x\vert - 2 = 0$。
解：①当 $x\geq0$ 时,原方程化为 $x^{2}-x - 2 = 0$,解得 $x_{1}= 2,x_{2}= -1$(不合题意,舍去)；
②当 $x＜0$ 时,原方程化为 $x^{2}+x - 2 = 0$,解得 $x_{3}= 1$(不合题意,舍去),$x_{4}= -2$。
∴ 原方程的根是 $x = 2$ 或 $x = - 2$。
请参照上述解题思路解方程 $x^{2}-\vert x - 1\vert - 1 = 0$。
解方程：$x^{2}-\vert x\vert - 2 = 0$。
解：①当 $x\geq0$ 时,原方程化为 $x^{2}-x - 2 = 0$,解得 $x_{1}= 2,x_{2}= -1$(不合题意,舍去)；
②当 $x＜0$ 时,原方程化为 $x^{2}+x - 2 = 0$,解得 $x_{3}= 1$(不合题意,舍去),$x_{4}= -2$。
∴ 原方程的根是 $x = 2$ 或 $x = - 2$。
请参照上述解题思路解方程 $x^{2}-\vert x - 1\vert - 1 = 0$。
答案
解:①当$x\geq 1$时,原方程化为$x^{2}-x+1-1$
$=0$,解得$x_{1}=0$(舍去),$x_{2}=1;$
②当$x＜1$时,原方程化为$x^{2}+x-1-1=$
0,解得$x_{3}=1$(舍去),$x_{4}=-2$。
所以原方程的根是$x=1$或$x=-2$。
$=0$,解得$x_{1}=0$(舍去),$x_{2}=1;$
②当$x＜1$时,原方程化为$x^{2}+x-1-1=$
0,解得$x_{3}=1$(舍去),$x_{4}=-2$。
所以原方程的根是$x=1$或$x=-2$。
