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22. 如图,在平面直角坐标系内,O为坐标原点,点A在x轴的正半轴上,点B在第一象限内,且AO= BO= 10,$\tan\angle BOA= \frac{3}{4}$.求：
(1)点B的坐标；
(2)$\cos\angle BAO$的值.
(1)点B的坐标；
(2)$\cos\angle BAO$的值.
答案
（1）过点B作$BC\perp x$轴于点C。
因为$\tan\angle BOA= \frac{3}{4}$，设$BC=3x$，则$OC=4x$。
在$Rt \bigtriangleup BOC$中，$OC^{2}+BC^{2}=OB^{2}$，即$(4x)^{2}+(3x)^{2}=10^{2}$，
解得$x=2$或$x=-2$(舍去)。
所以$BC=6$，$OC=8$。
所以点B的坐标为$(8,6)$。
（2）因为$AO=10$，$OC=8$，所以$AC=AO-OC=2$。
在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{2^{2}+6^{2}}=2\sqrt{10}$。
所以$\cos\angle BAO=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。
因为$\tan\angle BOA= \frac{3}{4}$，设$BC=3x$，则$OC=4x$。
在$Rt \bigtriangleup BOC$中，$OC^{2}+BC^{2}=OB^{2}$，即$(4x)^{2}+(3x)^{2}=10^{2}$，
解得$x=2$或$x=-2$(舍去)。
所以$BC=6$，$OC=8$。
所以点B的坐标为$(8,6)$。
（2）因为$AO=10$，$OC=8$，所以$AC=AO-OC=2$。
在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{2^{2}+6^{2}}=2\sqrt{10}$。
所以$\cos\angle BAO=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。
23. 如图,一处地铁出入口无障碍通道是转折的斜坡,沿着坡度相同的斜坡BC,CD共走7 m可到出入口,出入口点D距离地面的高DA为0.8 m,延长AB,CD,交于点E.求无障碍通道斜坡的坡度与坡角.(角度精确到$1^{\circ}$,其他精确到0.1)
答案
解：
设斜坡的坡角为$ \theta $，坡度为$ i = 1:k $（即$ \tan\theta = \frac{1}{k} $）。
1. 总坡面长度与水平距离关系：
设$ BC $段水平距离为$ m $，$ CD $段水平距离为$ d $。因坡度相同，坡角均为$ \theta $，则$ BC $段坡面长度为$ \frac{m}{\cos\theta} $，$ CD $段坡面长度为$ \frac{d}{\cos\theta} $。由题意$ BC + CD = 7 \, m $，得：
$ \frac{m}{\cos\theta} + \frac{d}{\cos\theta} = 7 \implies m + d = 7\cos\theta $
2. 总上升高度与坡角关系：
$ BC $段上升高度为$ m\tan\theta $，$ CD $段上升高度为$ d\tan\theta $，总上升高度$ DA = 0.8 \, m $，则：
$ m\tan\theta + d\tan\theta = 0.8 \implies (m + d)\tan\theta = 0.8 $
3. 求解$ \sin\theta $与坡角$ \theta $：
将$ m + d = 7\cos\theta $代入上式，得：
$ 7\cos\theta \cdot \tan\theta = 0.8 \implies 7\sin\theta = 0.8 \implies \sin\theta = \frac{0.8}{7} \approx 0.114 $
故$ \theta \approx \arcsin(0.114) \approx 7^\circ $（精确到$ 1^\circ $）。
4. 求解坡度：
$ \tan\theta \approx \tan7^\circ \approx 0.122 $，则坡度$ i = 1:k \approx 1:\frac{1}{0.122} \approx 1:8.2 $（精确到$ 0.1 $）。
结论：
斜坡的坡度约为$ 1:8.2 $，坡角约为$ 7^\circ $。
设斜坡的坡角为$ \theta $，坡度为$ i = 1:k $（即$ \tan\theta = \frac{1}{k} $）。
1. 总坡面长度与水平距离关系：
设$ BC $段水平距离为$ m $，$ CD $段水平距离为$ d $。因坡度相同，坡角均为$ \theta $，则$ BC $段坡面长度为$ \frac{m}{\cos\theta} $，$ CD $段坡面长度为$ \frac{d}{\cos\theta} $。由题意$ BC + CD = 7 \, m $，得：
$ \frac{m}{\cos\theta} + \frac{d}{\cos\theta} = 7 \implies m + d = 7\cos\theta $
2. 总上升高度与坡角关系：
$ BC $段上升高度为$ m\tan\theta $，$ CD $段上升高度为$ d\tan\theta $，总上升高度$ DA = 0.8 \, m $，则：
$ m\tan\theta + d\tan\theta = 0.8 \implies (m + d)\tan\theta = 0.8 $
3. 求解$ \sin\theta $与坡角$ \theta $：
将$ m + d = 7\cos\theta $代入上式，得：
$ 7\cos\theta \cdot \tan\theta = 0.8 \implies 7\sin\theta = 0.8 \implies \sin\theta = \frac{0.8}{7} \approx 0.114 $
故$ \theta \approx \arcsin(0.114) \approx 7^\circ $（精确到$ 1^\circ $）。
4. 求解坡度：
$ \tan\theta \approx \tan7^\circ \approx 0.122 $，则坡度$ i = 1:k \approx 1:\frac{1}{0.122} \approx 1:8.2 $（精确到$ 0.1 $）。
结论：
斜坡的坡度约为$ 1:8.2 $，坡角约为$ 7^\circ $。
24. 如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D,AD= 2,BD= 6,$\tan\angle B= \frac{2}{3}$,E是边BC的中点.求：
(1)边AC的长；
(2)$\angle EAB$的正弦值.
(1)边AC的长；
(2)$\angle EAB$的正弦值.
答案
(1) 在$Rt \bigtriangleup BCD$中，$\because\tan\angle B = \frac{CD}{BD} = \frac{2}{3}$，$BD = 6$，
$\therefore CD = 4$，
由勾股定理，$BC = \sqrt{BD^{2} + CD^{2}} = 2\sqrt{13}$，
在$Rt \bigtriangleup ACD$中，由勾股定理，
$AC = \sqrt{AD^{2} + CD^{2}} = 2\sqrt{5}$；
(2) 过点E作$EF \perp AB$于点F，
$\because E$是$BC$的中点，
$\therefore EF = \frac{1}{2}CD = 2$，$BF = \frac{1}{2}BD = 3$，
$\therefore AF = AD + DF = 2 + 3 = 5$，
在$Rt \bigtriangleup AEF$中，
$AE = \sqrt{AF^{2} + EF^{2}} = \sqrt{29}$，
$\therefore\sin\angle EAB = \frac{EF}{AE} = \frac{2}{\sqrt{29}} = \frac{2\sqrt{29}}{29}$。
$\therefore CD = 4$，
由勾股定理，$BC = \sqrt{BD^{2} + CD^{2}} = 2\sqrt{13}$，
在$Rt \bigtriangleup ACD$中，由勾股定理，
$AC = \sqrt{AD^{2} + CD^{2}} = 2\sqrt{5}$；
(2) 过点E作$EF \perp AB$于点F，
$\because E$是$BC$的中点，
$\therefore EF = \frac{1}{2}CD = 2$，$BF = \frac{1}{2}BD = 3$，
$\therefore AF = AD + DF = 2 + 3 = 5$，
在$Rt \bigtriangleup AEF$中，
$AE = \sqrt{AF^{2} + EF^{2}} = \sqrt{29}$，
$\therefore\sin\angle EAB = \frac{EF}{AE} = \frac{2}{\sqrt{29}} = \frac{2\sqrt{29}}{29}$。
