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例 2 一个零件的形状如图,按规定∠A = 90°,∠B = 22°,∠C = 28°。检验员已量得∠A = 90°,∠C = 28°,∠BDC = 140°。那么这个零件合格吗？说明理由。
名师导引 (1)通过作辅助线将多边形转化为三角形,是解决多边形问题最重要的方法之一。
(2)把多边形转化为三角形,常用的方法是作对角线,或延长某一边。
变式训练 如图,∠A = 90°,∠B = 21°,∠C = 32°,求∠BDC 的度数。
名师导引 (1)通过作辅助线将多边形转化为三角形,是解决多边形问题最重要的方法之一。
(2)把多边形转化为三角形,常用的方法是作对角线,或延长某一边。
变式训练 如图,∠A = 90°,∠B = 21°,∠C = 32°,求∠BDC 的度数。
答案
例2解答：
连接 $AD$ 并延长，
根据三角形外角性质，$\angle BDC = \angle B + \angle BAD + \angle C+\angle CAD= \angle B+ \angle BAC + \angle C$，
已知$\angle BAC = 90°$，$\angle B = 22°$，$\angle C = 28°$，
所以$\angle BDC = 90°+22°+28°= 140°$，
因为检验员量得$\angle BDC = 140°$，
所以这个零件合格。
变式训练解答：
连接 $AD$ 并延长，
根据三角形外角性质，$\angle BDC = \angle B + \angle BAD + \angle C+\angle CAD= \angle B+ \angle BAC + \angle C$，
已知$\angle BAC = 90°$，$\angle B = 21°$，$\angle C = 32°$，
所以$\angle BDC = 90°+21°+32°= 143°$。
连接 $AD$ 并延长，
根据三角形外角性质，$\angle BDC = \angle B + \angle BAD + \angle C+\angle CAD= \angle B+ \angle BAC + \angle C$，
已知$\angle BAC = 90°$，$\angle B = 22°$，$\angle C = 28°$，
所以$\angle BDC = 90°+22°+28°= 140°$，
因为检验员量得$\angle BDC = 140°$，
所以这个零件合格。
变式训练解答：
连接 $AD$ 并延长，
根据三角形外角性质，$\angle BDC = \angle B + \angle BAD + \angle C+\angle CAD= \angle B+ \angle BAC + \angle C$，
已知$\angle BAC = 90°$，$\angle B = 21°$，$\angle C = 32°$，
所以$\angle BDC = 90°+21°+32°= 143°$。
1. 如图,∠A = 40°,∠CBD 是△ABC 的外角,∠CBD = 120°,则∠C 的大小是(
A.90°
B.80°
C.60°
D.40°
B
)A.90°
B.80°
C.60°
D.40°
答案
B
解析
∵∠CBD是△ABC的外角，∠A=40°，∠CBD=120°
∴∠CBD=∠A+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴∠C=∠CBD-∠A=120°-40°=80°
∴∠CBD=∠A+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴∠C=∠CBD-∠A=120°-40°=80°
2. 将一副三角板按如图方式叠放,则角α等于(
A.165°
B.135°
C.105°
D.75°
C
)A.165°
B.135°
C.105°
D.75°
答案
C
解析
一副三角板的度数分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°。如图叠放时，其中一个三角板的45°角与另一个三角板的30°角相邻，它们的和为45°+30°=75°。角α是这个75°角的邻补角，所以α=180°-75°=105°。
3. 如图,在△ABC 中,BP 是∠ABC 的平分线,CP 是∠ACB 的外角的平分线。若∠ABP = 20°,∠ACP = 50°,则∠A + ∠P = (
A.70°
B.80°
C.90°
D.100°
C
)A.70°
B.80°
C.90°
D.100°
答案
C
解析
∵BP平分∠ABC，∠ABP=20°，∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠PBC=∠ABP=20°．
∵CP平分∠ACB的外角∠ACM，∠ACP=50°，∴∠ACM=2∠ACP=100°．
∵∠ACM是△ABC的外角，∴∠ACM=∠A+∠ABC，即100°=∠A+40°，解得∠A=60°．
∵∠PCM=∠ACP=50°，∠PCM是△PBC的外角，∴∠PCM=∠P+∠PBC，即50°=∠P+20°，解得∠P=30°．
∴∠A+∠P=60°+30°=90°．
4. 如图,点 D 在 AB 上,点 E 在 AC 上,BE,CD 相交于点 O。
(1)若∠A = 50°,∠BOD = 70°,∠C = 30°,求∠B 的度数；
(2)试猜想∠BOC 与∠A + ∠B + ∠C 之间的关系,并证明你的猜想。
(1)若∠A = 50°,∠BOD = 70°,∠C = 30°,求∠B 的度数；
(2)试猜想∠BOC 与∠A + ∠B + ∠C 之间的关系,并证明你的猜想。
答案
(1)30°；(2)∠BOC=∠A+∠B+∠C。
解析
(1)∵CD是直线，∠BOD=70°，∴∠BOC=180°-∠BOD=110°。
在△ADC中，∠A=50°，∠C=30°，∴∠ADC=180°-∠A-∠C=100°。
∵∠ADC+∠BDO=180°，∴∠BDO=180°-∠ADC=80°。
在△BDO中，∠BDO+∠BOD+∠B=180°，即80°+70°+∠B=180°，∴∠B=30°。
(2)猜想：∠BOC=∠A+∠B+∠C。
证明：∵∠BOC是△BDO的外角，∴∠BOC=∠B+∠BDO。
∵∠BDO是△ADC的外角，∴∠BDO=∠A+∠C。
∴∠BOC=∠B+∠A+∠C，即∠BOC=∠A+∠B+∠C。
在△ADC中，∠A=50°，∠C=30°，∴∠ADC=180°-∠A-∠C=100°。
∵∠ADC+∠BDO=180°，∴∠BDO=180°-∠ADC=80°。
在△BDO中，∠BDO+∠BOD+∠B=180°，即80°+70°+∠B=180°，∴∠B=30°。
(2)猜想：∠BOC=∠A+∠B+∠C。
证明：∵∠BOC是△BDO的外角，∴∠BOC=∠B+∠BDO。
∵∠BDO是△ADC的外角，∴∠BDO=∠A+∠C。
∴∠BOC=∠B+∠A+∠C，即∠BOC=∠A+∠B+∠C。
5. 如图,D 是△ABC 中 BC 边上一点,∠1 = ∠B,∠2 = 80°,∠BAC = 70°。求：
(1)∠B 的度数；
(2)∠C 的度数。
(1)∠B 的度数；
(2)∠C 的度数。
答案
(1) ∵∠2是△ABD的外角，
∴∠2=∠1+∠B。
∵∠1=∠B，∠2=80°，
∴80°=∠B+∠B，
∴2∠B=80°，
∴∠B=40°。
(2) 在△ABC中，
∠BAC+∠B+∠C=180°，
∵∠BAC=70°，∠B=40°，
∴70°+40°+∠C=180°，
∴∠C=180°-70°-40°=70°。
(1)40°；(2)70°
∴∠2=∠1+∠B。
∵∠1=∠B，∠2=80°，
∴80°=∠B+∠B，
∴2∠B=80°，
∴∠B=40°。
(2) 在△ABC中，
∠BAC+∠B+∠C=180°，
∵∠BAC=70°，∠B=40°，
∴70°+40°+∠C=180°，
∴∠C=180°-70°-40°=70°。
(1)40°；(2)70°
