变式训练 计算:
(1)$(\frac{3}{10}a^{3}bc^{3})(\frac{1}{2}ab^{3}c^{2})$;
(2)$-3a(a - b)^{2}\cdot \frac{2}{3}(b - a)^{3}$.

(1)
$(\frac{3}{10}a^{3}bc^{3})(\frac{1}{2}ab^{3}c^{2})$
$=\frac{3}{10}×\frac{1}{2}× a^{3}× a× b× b^{3}× c^{3}× c^{2}$
$=\frac{3}{20}a^{3 + 1}b^{1+3}c^{3 + 2}$
$=\frac{3}{20}a^{4}b^{4}c^{5}$
(2)
因为$(b - a)^{3}=-(a - b)^{3}$，所以
$-3a(a - b)^{2}\cdot\frac{2}{3}(b - a)^{3}$
$=-3a(a - b)^{2}\cdot\frac{2}{3}×[-(a - b)^{3}]$
$=(-3)×\frac{2}{3}×(-1)a(a - b)^{2}(a - b)^{3}$
$=2a(a - b)^{2 + 3}$
$=2a(a - b)^{5}$

例2 (1)若单项式$-8x^{a}y^{b}和3xy的积为-24x^{5}y^{6}$,则$ab$的值为()
A. 30 B. 20 C. -15 D. 15
(2)已知$9a^{n - 3}b^{2n}和-2a^{3m}b^{5 - n}的积与5a^{4}b^{9}$是同类项,则$mn= $.
名师导引 第(2)题,利用单项式乘法法则建立关于$m,n$的二元一次方程组求解.
变式训练 (1)已知$-3a^{m}b^{4}与7a^{3}b^{2m + n}$可以合并成一项,则它们的积为.
(2)已知单项式$2x^{2}y^{3}与-3x^{n}y^{2}的积为mx^{5}y^{5}$,则$m= $,$n= $.

(1) B
(2) 4
变式训练 (1) $-21a^{6}b^{8}$
(2) $m=-6$，$n=3$

1. 计算$2x^{2}\cdot (-3x^{3})$的结果是()
A.$-6x^{5}$
B.$6x^{5}$
C.$-6x^{6}$
D.$6x^{6}$

A

根据单项式与单项式相乘的法则，先把它们的系数相乘，即 $2 × (-3) = -6$，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得 $x^{2}\cdot x^{3}=x^{2 + 3}=x^{5}$，所以 $2x^{2}\cdot (-3x^{3})=-6x^{5}$。

2. 有下列算式:①$3a^{3}\cdot (2a^{2})^{2}= 12a^{12}$;②$(2× 10^{3})× (\frac{1}{2}× 10^{3})= 10^{6}$;③$-3xy\cdot (-2xyz)^{2}= 12x^{3}y^{3}z^{2}$;④$4x^{3}\cdot 5x^{4}= 9x^{12}$.其中正确的个数是()
A.0
B.1
C.2
D.3

B

1.对于算式① $3a^{3} \cdot (2a^{2})^{2}$：
根据幂的乘方运算法则，$(2a^{2})^{2} = 4a^{4}$，
根据单项式乘单项式运算法则，$3a^{3} \cdot 4a^{4} = 12a^{7}$，
与给定的 $12a^{12}$ 不相等，所以算式①是错误的。
2.对于算式② $(2 × 10^{3}) × (\frac{1}{2} × 10^{3})$：
根据科学记数法的乘法规则，$(2 × \frac{1}{2}) × 10^{3+3} = 1 × 10^{6}$，
与给定的 $10^{6}$ 相等，所以算式②是正确的。
3.对于算式③ $-3xy \cdot (-2xyz)^{2}$：
根据幂的乘方运算法则和积的乘方运算法则，$(-2xyz)^{2} = 4x^{2}y^{2}z^{2}$，
根据单项式乘单项式运算法则，$-3xy \cdot 4x^{2}y^{2}z^{2} = -12x^{3}y^{3}z^{2}$，
与给定的 $12x^{3}y^{3}z^{2}$ 不相等（符号不同），所以算式③是错误的。
4.对于算式④ $4x^{3} \cdot 5x^{4}$：
根据单项式乘单项式运算法则，$4x^{3} \cdot 5x^{4} = 20x^{7}$，
与给定的 $9x^{12}$ 不相等，所以算式④是错误的。
综上所述，只有算式②是正确的，所以正确的个数是1。

3. 长方形的长为$6x^{2}y$,宽为$3xy$,则它的面积为()
A.$9x^{3}y^{2}$
B.$18x^{3}y^{2}$
C.$18x^{2}y$
D.$6xy^{2}$

B

长方形的面积计算公式为长乘以宽，即$6x^{2}y × 3xy$。
计算系数：$6 × 3 = 18$，
计算$x$的指数：$x^{2} \cdot x = x^{2+1} = x^{3}$，
计算$y$的指数：$y \cdot y = y^{1+1} = y^{2}$，
因此结果为$18x^{3}y^{2}$。

4. 若单项式$-6x^{2}y^{m}与\frac{1}{3}x^{n - 1}y^{3}$是同类项,则这两个单项式的积是.

$-2x^{4}y^{6}$

由于$-6x^{2}y^{m}$和$\frac{1}{3}x^{n-1}y^{3}$是同类项，根据同类项的定义，它们的字母部分（包括指数）必须相同。
因此，有：
$n - 1 = 2$，$m = 3$，
解得：
$n = 3$， $m = 3$，
将求得的$n$和$m$值代入原单项式，得到：
$-6x^{2}y^{3} \quad 和 \quad \frac{1}{3}x^{2}y^{3}$，
计算这两个单项式的积：
$-6x^{2}y^{3} × \frac{1}{3}x^{2}y^{3} = -6 × \frac{1}{3} × x^{2+2} × y^{3+3} = -2x^{4}y^{6}$。

5. 计算与化简:
(1)$xy^{2}\cdot (-2x^{3}y)^{2}$;
(2)$5a^{3}b\cdot (-3b)^{2}+(-6ab)^{2}\cdot (-ab)-ab^{3}\cdot (-4a)^{2}$;
(3)$-6xy^{2}\cdot (2x - y)^{3}\cdot \frac{1}{3}xy(y - 2x)^{2}$.

(1) $xy^{2}\cdot (-2x^{3}y)^{2}$
$=xy^{2}\cdot [(-2)^{2}\cdot (x^{3})^{2}\cdot y^{2}]$
$=xy^{2}\cdot 4x^{6}y^{2}$
$=4x^{1+6}y^{2+2}$
$=4x^{7}y^{4}$
(2) $5a^{3}b\cdot (-3b)^{2}+(-6ab)^{2}\cdot (-ab)-ab^{3}\cdot (-4a)^{2}$
$=5a^{3}b\cdot 9b^{2}+36a^{2}b^{2}\cdot (-ab)-ab^{3}\cdot 16a^{2}$
$=45a^{3}b^{3}-36a^{3}b^{3}-16a^{3}b^{3}$
$=(45-36-16)a^{3}b^{3}$
$=-7a^{3}b^{3}$
(3) $-6xy^{2}\cdot (2x - y)^{3}\cdot \frac{1}{3}xy(y - 2x)^{2}$
$=-6xy^{2}\cdot (2x - y)^{3}\cdot \frac{1}{3}xy(2x - y)^{2}$
$=(-6×\frac{1}{3})x^{1+1}y^{2+1}(2x - y)^{3+2}$
$=-2x^{2}y^{3}(2x - y)^{5}$

6. 如图,一块长方形闲置空地,宽为$3a$米,长为$b$米.为了美化环境,准备在这块长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径为$a$米的扇形花圃(阴影部分),然后在花圃内种花,空地中间修一条长$b$米,宽$a$米的小路,剩余部分种草.(提示:$\pi$取3)
(1)小路的面积为平方米,种花的面积为____平方米;
(2)当$a = 2,b = 10$时,请计算该长方形空地上种草的面积;
(3)种花、种草的费用分别为每平方米300元、每平方米200元,小路的建设费用为每平方米100元.在(2)的条件下,美化这块空地共需要多少资金?

(1) ab；3a²
(2) 长方形总面积为3a·b=3ab，种草面积=3ab - ab - 3a²=2ab - 3a²。当a=2，b=10时，原式=2×2×10 - 3×2²=40 - 12=28（平方米）
(3) 种花面积=3a²=3×2²=12，费用12×300=3600（元）；种草费用28×200=5600（元）；小路面积ab=2×10=20，费用20×100=2000（元）；总费用=3600+5600+2000=11200（元）