4. 如图,点$B是线段AC$的中点,点$D在线段BC$上,且$BD = \frac{1}{2}BC$,$AC = 20$,则$BD = $。

5

因为点B是线段AC的中点，AC=20，所以BC=1/2AC=10。又因为BD=1/2BC，所以BD=1/2×10=5。

5. 已知线段$AB$,延长$AB至点C$,使$BC = \frac{1}{3}AB$,$D是线段AC$的中点。
(1)若$DC = 2$,求$BD$的长；
(2)试探究线段$BD$,$BC$间的数量关系,并说明理由。

(1)$1$；(2)$BD=BC$。

(1)设$AB = 3x$，则$BC=\frac{1}{3}AB=x$，$AC=AB + BC=3x+x=4x$。
∵$D$是$AC$中点，∴$DC=\frac{1}{2}AC=2x$。
∵$DC = 2$，∴$2x=2$，解得$x = 1$。
∴$BC=x=1$，$DC=2$，$BD=DC - BC=2 - 1=1$。
(2)$BD=BC$。
理由：设$BC=y$，则$AB=3y$，$AC=AB + BC=4y$。
∵$D$是$AC$中点，∴$DC=\frac{1}{2}AC=2y$。
∴$BD=DC - BC=2y - y=y$，又$BC=y$，∴$BD=BC$。

6. 如图,已知在线段$AB上有两点C$,$D$,点$D是AB$的中点,$AC:CB = 5:7$,$CD = 8$。求线段$AB$的长。

设$AC = 5x$，$CB = 7x$，则$AB = AC + CB = 12x$。
因为点$D$是$AB$的中点，所以$AD=\frac{1}{2}AB = 6x$。
又因为$AC = 5x$，所以$CD = AD - AC=6x - 5x = x$。
已知$CD = 8$，即$x = 8$。
所以$AB = 12x = 12×8 = 96$。
答：线段$AB$的长为$96$。

7. 如图,已知点$C在线段AB$上,$AC = 12$厘米,$BC = 8$厘米,点$M$,$N分别是AC$,$BC$的中点。
(1)求线段$MN$的长；
(2)根据第(1)题的计算过程和结果,设$AC + BC = a$,其他条件不变,直接写出$MN$的长度；
(3)动点$P$,$Q分别从A$,$B$同时出发,点$P以2$cm/s的速度沿$AB$向右运动,终点为$B$,点$Q以1$cm/s的速度沿$BA$向左运动,终点为$A$,当一个点到达终点,另一个点也随之停止运动,设运动时间为$x$秒,是否存在某一时刻,使得$C$,$P$,$Q$这三个点中,有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在,求出所有满足条件的$x$的值；若不存在,请说明理由。

(1)∵M是AC中点，AC=12cm，∴MC=AC/2=6cm。
∵N是BC中点，BC=8cm，∴CN=BC/2=4cm。
∴MN=MC+CN=6+4=10cm。
(2)MN=a/2。
(3)存在，x的值为4，6.4，7。
当C为PQ中点时：2×12=2x+(20-x)，解得x=4。
当P为CQ中点时：2×2x=12+(20-x)，解得x=6.4。
当Q为CP中点时：2×(20-x)=12+2x，解得x=7。