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6. 甲、乙两人从$A地步行到B$地,甲一半的路程以速度$a$行走,另一半的路程以速度$b$行走；乙一半的时间以速度$a$行走,另一半的时间以速度$b$行走,那么两人中谁先到达$B$地？
答案
设从$A$地到$B$地的距离为$s$。
甲的平均速度计算：
甲以速度$a$行走前$\frac{s}{2}$，所用时间为$\frac{s}{2a}$；
甲以速度$b$行走后$\frac{s}{2}$，所用时间为$\frac{s}{2b}$；
甲走完全程所用总时间：$t_1 = \frac{s}{2a} + \frac{s}{2b} = \frac{s(a + b)}{2ab}$；
甲的平均速度：$v_1 = \frac{s}{t_1} = \frac{2ab}{a + b}$。
乙的平均速度计算：
设乙的总时间为$2t$，则前$t$时间以速度$a$行走，后$t$时间以速度$b$行走；
乙走完全程的总距离：$s = a \cdot t + b \cdot t = t(a + b)$；
乙的平均速度：$v_2 = \frac{s}{2t} = \frac{a + b}{2}$。
平均速度比较：
$v_1 - v_2 = \frac{2ab}{a + b} - \frac{a + b}{2} = \frac{4ab - (a + b)^2}{2(a + b)} = \frac{4ab - a^2 - 2ab - b^2}{2(a + b)} = \frac{2ab - a^2 - b^2}{2(a + b)} = -\frac{(a - b)^2}{2(a + b)} \leq 0$，
由于$(a - b)^2 \geq 0$，且$a + b ＞ 0$，所以$v_1 \leq v_2$，当且仅当$a = b$时取等号。
由于$v_1 \leq v_2$，乙的平均速度大于甲的平均速度，所以乙先到达$B$地。
甲的平均速度计算：
甲以速度$a$行走前$\frac{s}{2}$，所用时间为$\frac{s}{2a}$；
甲以速度$b$行走后$\frac{s}{2}$，所用时间为$\frac{s}{2b}$；
甲走完全程所用总时间：$t_1 = \frac{s}{2a} + \frac{s}{2b} = \frac{s(a + b)}{2ab}$；
甲的平均速度：$v_1 = \frac{s}{t_1} = \frac{2ab}{a + b}$。
乙的平均速度计算：
设乙的总时间为$2t$，则前$t$时间以速度$a$行走，后$t$时间以速度$b$行走；
乙走完全程的总距离：$s = a \cdot t + b \cdot t = t(a + b)$；
乙的平均速度：$v_2 = \frac{s}{2t} = \frac{a + b}{2}$。
平均速度比较：
$v_1 - v_2 = \frac{2ab}{a + b} - \frac{a + b}{2} = \frac{4ab - (a + b)^2}{2(a + b)} = \frac{4ab - a^2 - 2ab - b^2}{2(a + b)} = \frac{2ab - a^2 - b^2}{2(a + b)} = -\frac{(a - b)^2}{2(a + b)} \leq 0$，
由于$(a - b)^2 \geq 0$，且$a + b ＞ 0$，所以$v_1 \leq v_2$，当且仅当$a = b$时取等号。
由于$v_1 \leq v_2$，乙的平均速度大于甲的平均速度，所以乙先到达$B$地。
$a^{-n} = \frac{1}{(
$a^{n}$
)} (a \neq 0, n 是正整数)$ 思考 对指数中的“-”怎么理解？它可以与底数的“-”抵消吗？填空 $ (-1)^{-3} $=-1
,$ \left( \frac{1}{2} \right)^{-2}$ =4
答案
$a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$（$a \neq 0$，$n$ 是正整数），思考中对指数中的“-”的理解如上，它不能与底数的“-”抵消；
$(-1)^{-3} = -1$；
$\left( \frac{1}{2} \right)^{-2} = 4$；
填空答案为：$a^{n}$；-1；4。
$(-1)^{-3} = -1$；
$\left( \frac{1}{2} \right)^{-2} = 4$；
填空答案为：$a^{n}$；-1；4。
解析
对于 $a^{-n}$，它表示的是 $a$ 的 $n$ 次方的倒数，即 $a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$。
这里的“-”号表示取倒数，并不是数学运算中的减号，因此不能与底数的“-”号相互抵消。
对于 $(-1)^{-3}$：
$(-1)^{-3} = \frac{1}{(-1)^{3}} = \frac{1}{-1} = -1$，
对于 $\left( \frac{1}{2} \right)^{-2}$：
$\left( \frac{1}{2} \right)^{-2} = \left(2\right)^{2} = 4$，
这里的“-”号表示取倒数，并不是数学运算中的减号，因此不能与底数的“-”号相互抵消。
对于 $(-1)^{-3}$：
$(-1)^{-3} = \frac{1}{(-1)^{3}} = \frac{1}{-1} = -1$，
对于 $\left( \frac{1}{2} \right)^{-2}$：
$\left( \frac{1}{2} \right)^{-2} = \left(2\right)^{2} = 4$，
例$ 1 $计算：
$(1) m^{-3} ÷ m^{4} ；$$ $
$(2) \left( \frac{x^{2}}{y^{4}} \right)^{-3} ；$
$(3) 2a^{3}b^{-2} \cdot (a^{-2}b^{3})^{-2} ；$
$(4) (2a^{2}bc^{-2})^{-2} ÷ (-4a^{-2}b^{3})^{-1} ；$
$(5) [3(x - y)^{-3}]^{-2} \cdot (y - x)^{2} .$
$(1) m^{-3} ÷ m^{4} ；$$ $
$(2) \left( \frac{x^{2}}{y^{4}} \right)^{-3} ；$
$(3) 2a^{3}b^{-2} \cdot (a^{-2}b^{3})^{-2} ；$
$(4) (2a^{2}bc^{-2})^{-2} ÷ (-4a^{-2}b^{3})^{-1} ；$
$(5) [3(x - y)^{-3}]^{-2} \cdot (y - x)^{2} .$
答案
(1)
根据同底数幂的除法法则：$a^m÷ a^n = a^{m - n}$（$a\neq0$，$m$，$n$为整数），对于$m^{-3}÷ m^{4}$，其中$a = m$，$m=-3$，$n = 4$，则有：
$m^{-3}÷ m^{4}=m^{-3 - 4}=m^{-7}=\frac{1}{m^{7}}$
(2)
根据积的乘方法则$(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$（$n$为整数）以及幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$，$n$为整数），对于$(\frac{x^{2}}{y^{4}})^{-3}$，可得：
$(\frac{x^{2}}{y^{4}})^{-3}=\frac{(x^{2})^{-3}}{(y^{4})^{-3}}=\frac{x^{-6}}{y^{-12}}=\frac{y^{12}}{x^{6}}$
(3)
先根据积的乘方法则计算$(a^{-2}b^{3})^{-2}$：
$(a^{-2}b^{3})^{-2}=a^{(-2)×(-2)}b^{3×(-2)}=a^{4}b^{-6}$
再根据同底数幂的乘法法则计算$2a^{3}b^{-2}\cdot(a^{-2}b^{3})^{-2}$：
$2a^{3}b^{-2}\cdot a^{4}b^{-6}=2a^{3 + 4}b^{-2-6}=2a^{7}b^{-8}=\frac{2a^{7}}{b^{8}}$
(4)
先根据积的乘方法则计算$(2a^{2}bc^{-2})^{-2}$和$(-4a^{-2}b^{3})^{-1}$：
$(2a^{2}bc^{-2})^{-2}=2^{-2}a^{2×(-2)}b^{-2}c^{(-2)×(-2)}=\frac{1}{4}a^{-4}b^{-2}c^{4}$
$(-4a^{-2}b^{3})^{-1}=(-4)^{-1}a^{(-2)×(-1)}b^{3×(-1)}=-\frac{1}{4}a^{2}b^{-3}$
再根据同底数幂的除法法则计算$(2a^{2}bc^{-2})^{-2}÷(-4a^{-2}b^{3})^{-1}$：
$\frac{\frac{1}{4}a^{-4}b^{-2}c^{4}}{-\frac{1}{4}a^{2}b^{-3}}=(\frac{1}{4}÷(-\frac{1}{4}))a^{-4 - 2}b^{-2-(-3)}c^{4}=-a^{-6}b^{1}c^{4}=-\frac{b c^{4}}{a^{6}}$
(5)
因为$(y - x)=-(x - y)$，所以$(y - x)^{2}=(x - y)^{2}$，先根据积的乘方法则计算$[3(x - y)^{-3}]^{-2}$：
$[3(x - y)^{-3}]^{-2}=3^{-2}(x - y)^{(-3)×(-2)}=\frac{1}{9}(x - y)^{6}$
再根据同底数幂的乘法法则计算$[3(x - y)^{-3}]^{-2}\cdot(y - x)^{2}$：
$\frac{1}{9}(x - y)^{6}\cdot(x - y)^{2}=\frac{1}{9}(x - y)^{6 + 2}=\frac{(x - y)^{8}}{9}$
综上，答案依次为：
(1)$\frac{1}{m^{7}}$；
(2)$\frac{y^{12}}{x^{6}}$；
(3)$\frac{2a^{7}}{b^{8}}$；
(4)$-\frac{b c^{4}}{a^{6}}$；
(5)$\frac{(x - y)^{8}}{9}$。
变式训练$ $计算：
$(1) (a^{2}b)^{-3}(3a^{-1}b^{-2})^{-2} ；$
$(2) [(a + b)^{3}(a - b)^{-2}]^{-2} \cdot (a + b)^{6} .$
$(1) (a^{2}b)^{-3}(3a^{-1}b^{-2})^{-2} ；$
$(2) [(a + b)^{3}(a - b)^{-2}]^{-2} \cdot (a + b)^{6} .$
答案
(1)
首先，根据积的乘方运算法则$(ab)^n=a^nb^n$以及幂的乘方运算法则$(a^m)^n = a^{mn}$，对$(a^{2}b)^{-3}$和$(3a^{-1}b^{-2})^{-2}$分别化简：
$(a^{2}b)^{-3}=(a^{2})^{-3}b^{-3}=a^{-6}b^{-3}$；
$(3a^{-1}b^{-2})^{-2}=3^{-2}(a^{-1})^{-2}(b^{-2})^{-2}=\frac{1}{9}a^{2}b^{4}$。
然后，将上述结果相乘：
$(a^{2}b)^{-3}(3a^{-1}b^{-2})^{-2}=a^{-6}b^{-3}\cdot\frac{1}{9}a^{2}b^{4}$。
再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的运算法则$a^m\cdot a^n = a^{m + n}$，可得：
$a^{-6}b^{-3}\cdot\frac{1}{9}a^{2}b^{4}=\frac{1}{9}a^{-6 + 2}b^{-3 + 4}=\frac{1}{9}a^{-4}b=\frac{b}{9a^{4}}$。
(2)
首先，根据积的乘方运算法则对$[(a + b)^{3}(a - b)^{-2}]^{-2}$化简：
$[(a + b)^{3}(a - b)^{-2}]^{-2}=(a + b)^{3×(-2)}(a - b)^{(-2)×(-2)}=(a + b)^{-6}(a - b)^{4}$。
然后，将上述结果与$(a + b)^{6}$相乘：
$(a + b)^{-6}(a - b)^{4}\cdot(a + b)^{6}$。
根据同底数幂相乘的运算法则，可得：
$(a + b)^{-6}(a - b)^{4}\cdot(a + b)^{6}=(a - b)^{4}(a + b)^{-6 + 6}=(a - b)^{4}$。
综上，答案依次为：
(1)$\frac{b}{9a^{4}}$；
(2)$(a - b)^{4}$。
例$ 2 $计算：$ -1^{4} - |2 - \sqrt{3}| + (-2025)^{0} × \left( -\frac{1}{2} \right)^{-3} .$
名师导引$ $先准确计算各项后再求得最终结果$,$一定要注意符号$.$
名师导引$ $先准确计算各项后再求得最终结果$,$一定要注意符号$.$
答案
答题卡：
计算 $-1^{4}$：
$-1^{4} = -1$，
计算 $|2 - \sqrt{3}|$：
因为 $2 ＞ \sqrt{3}$，所以 $2 - \sqrt{3}$ 为正数，其绝对值为本身，即 $|2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}$，
计算 $(-2025)^{0}$：
任何非零数的0次幂都是1，所以 $(-2025)^{0} = 1$，
计算 $\left( -\frac{1}{2} \right)^{-3}$：
负整数指数幂表示倒数，即 $\left( -\frac{1}{2} \right)^{-3} = -2^{3} = -8$，
将以上结果代入原式进行计算：
$-1^{4} - |2 - \sqrt{3}| + (-2025)^{0} × \left( -\frac{1}{2} \right)^{-3}$
$= -1 - (2 - \sqrt{3}) + 1 × (-8)$
$= -1 - 2 + \sqrt{3} - 8$
$= -11 + \sqrt{3}$
最终答案为：$-11 + \sqrt{3}$。
计算 $-1^{4}$：
$-1^{4} = -1$，
计算 $|2 - \sqrt{3}|$：
因为 $2 ＞ \sqrt{3}$，所以 $2 - \sqrt{3}$ 为正数，其绝对值为本身，即 $|2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}$，
计算 $(-2025)^{0}$：
任何非零数的0次幂都是1，所以 $(-2025)^{0} = 1$，
计算 $\left( -\frac{1}{2} \right)^{-3}$：
负整数指数幂表示倒数，即 $\left( -\frac{1}{2} \right)^{-3} = -2^{3} = -8$，
将以上结果代入原式进行计算：
$-1^{4} - |2 - \sqrt{3}| + (-2025)^{0} × \left( -\frac{1}{2} \right)^{-3}$
$= -1 - (2 - \sqrt{3}) + 1 × (-8)$
$= -1 - 2 + \sqrt{3} - 8$
$= -11 + \sqrt{3}$
最终答案为：$-11 + \sqrt{3}$。
变式训练$ $计算：$ \sqrt{27} - (\pi + 2025)^{0} - |1 - \sqrt{3}| + (-1)^{2024} - \left( -\frac{1}{2} \right)^{-2} .$
答案
$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$，
$(\pi + 2025)^{0} = 1$，
$|1 - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - 1$，
$(-1)^{2024} = 1$，
$\left( -\frac{1}{2} \right)^{-2} = 4$，
将以上结果代入原式，得：
$\sqrt{27} - (\pi + 2025)^{0} - |1 - \sqrt{3}| + (-1)^{2024} - \left( -\frac{1}{2} \right)^{-2}$
$= 3\sqrt{3} - 1 - (\sqrt{3} - 1) + 1 - 4$
$= 3\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} + 1 + 1 - 4$
$= 2\sqrt{3} - 3$
综上所述，本题答案是：$2\sqrt{3} - 3$。
$(\pi + 2025)^{0} = 1$，
$|1 - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - 1$，
$(-1)^{2024} = 1$，
$\left( -\frac{1}{2} \right)^{-2} = 4$，
将以上结果代入原式，得：
$\sqrt{27} - (\pi + 2025)^{0} - |1 - \sqrt{3}| + (-1)^{2024} - \left( -\frac{1}{2} \right)^{-2}$
$= 3\sqrt{3} - 1 - (\sqrt{3} - 1) + 1 - 4$
$= 3\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} + 1 + 1 - 4$
$= 2\sqrt{3} - 3$
综上所述，本题答案是：$2\sqrt{3} - 3$。
例$ 3 $求$ x $的值：
$(1) 2^{-x} = 8 ；$$ $
$(2) 6^{x + 3} = 1 .$
名师导引$ $利用$“ a^{m} = a^{n} ,$则$ m = n ”$计算$ x $的值$,$关键在于将等式两边化为同底数幂的形式$.$
$(1) 2^{-x} = 8 ；$$ $
$(2) 6^{x + 3} = 1 .$
名师导引$ $利用$“ a^{m} = a^{n} ,$则$ m = n ”$计算$ x $的值$,$关键在于将等式两边化为同底数幂的形式$.$
答案
(1) $2^{-x} = 8$
$2^{-x} = 2^{3}$
$-x = 3$
$x = -3$
(2) $6^{x + 3} = 1$
$6^{x + 3} = 6^{0}$
$x + 3 = 0$
$x = -3$
