9. 已知二次函数$y= ax^{2}-2ax+3(a\neq0)$.
(1)若该图像过点$(3,6)$,求$a$的值；
(2)当$0\leqslant x\leqslant3$时,$y的最大值是\frac{9}{2}$,求$a$的值.

(1)$a=1$；(2)$a=\frac{1}{2}$或$a=-\frac{3}{2}$。

(1)将点$(3,6)$代入$y=ax^{2}-2ax+3$，得$6=a×3^{2}-2a×3+3$，即$6=9a - 6a + 3$，$3a=3$，解得$a=1$。
(2)$y=ax^{2}-2ax+3=a(x^{2}-2x)+3=a(x - 1)^{2}+3 - a$，对称轴为直线$x=1$。
当$a＞0$时，开口向上，在$0\leqslant x\leqslant3$范围内，$x=3$时$y$取最大值，即$a(3 - 1)^{2}+3 - a=\frac{9}{2}$，$4a + 3 - a=\frac{9}{2}$，$3a=\frac{3}{2}$，解得$a=\frac{1}{2}$。
当$a＜0$时，开口向下，在$0\leqslant x\leqslant3$范围内，$x=1$时$y$取最大值，即$3 - a=\frac{9}{2}$，解得$a=-\frac{3}{2}$。
综上，$a=\frac{1}{2}$或$a=-\frac{3}{2}$。

10. 如图,抛物线$C_{1}:y= x^{2}+2x+c与抛物线C_{2}:y= x^{2}-4x+d相交于点T$,点$T$的横坐标为1. 过点$T作x轴的平行线交抛物线C_{1}于点A$,交抛物线$C_{2}于点B$,抛物线$C_{1}与C_{2}分别与y轴交于点C$,$D$.
(1)求抛物线$C_{1}的对称轴和点A$的横坐标；
(2)求线段$AB和CD$的长；
(3)点$P(-2,p)在抛物线C_{1}$上,点$Q(5,q)在抛物线C_{2}$上,请比较$p与q$的大小关系,并说明理由.

(1) 对称轴$x=-1$，点$A$横坐标$-3$；(2) $AB=6$，$CD=6$；(3) $p＜q$。

(1) 抛物线$C_{1}:y = x^{2}+2x + c$的对称轴为直线$x=-\frac{2}{2×1}=-1$。
点$T$横坐标为$1$，过$T$作$x$轴平行线交$C_{1}$于$A$，$A$与$T$关于对称轴对称，$A$横坐标为$-1-(1-(-1))=-3$。
(2) 设$T(1,t)$，代入$C_{1}$：$t=1 + 2 + c\Rightarrow c=t - 3$；代入$C_{2}$：$t=1 - 4 + d\Rightarrow d=t + 3$。
$C_{1}$与$y$轴交于$C(0,c)=(0,t - 3)$，$C_{2}$与$y$轴交于$D(0,d)=(0,t + 3)$，$CD=|(t + 3)-(t - 3)|=6$。
$A$在$C_{1}$上，横坐标$-3$，代入得$y=(-3)^{2}+2×(-3)+c=9 - 6 + t - 3=t$，故$A(-3,t)$。
$B$在$C_{2}$上，设横坐标$m$，$y=m^{2}-4m + d=m^{2}-4m + t + 3=t\Rightarrow m^{2}-4m + 3=0\Rightarrow m=1$或$m=3$，$B(3,t)$。
$AB=|3 - (-3)|=6$。
(3) 点$P(-2,p)$在$C_{1}$上：$p=(-2)^{2}+2×(-2)+c=4 - 4 + t - 3=t - 3$。
点$Q(5,q)$在$C_{2}$上：$q=5^{2}-4×5 + d=25 - 20 + t + 3=t + 8$。
$p - q=(t - 3)-(t + 8)=-11＜0$，故$p＜q$。
(1) 对称轴$x=-1$，点$A$横坐标$-3$；
(2)$AB=6$，$CD=6$；
(3)$p＜q$。