21. 如图,AB是⊙O的直径,CD是过⊙O上一点C的线段,且AD⊥DC于点D,AC平分∠BAD.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若∠ABC= 60°,AB= 6,求$\widehat{AC}$的长.

(1)连接OC.
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA.
∵AC平分∠BAD，∴∠OAC=∠DAC.
∴∠DAC=∠OCA，∴OC//AD.
∵AD⊥DC，∴∠ADC=90°.
∵OC//AD，∴∠OCD=∠ADC=90°，即OC⊥CD.
∵OC是⊙O半径，∴CD是⊙O的切线.
(2)∵AB是⊙O直径，AB=6，∴半径OA=3，∠ACB=90°.
在Rt△ABC中，∠ABC=60°，∴∠BAC=90°-60°=30°.
∵OA=OC，∴∠OCA=∠BAC=30°.
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-30°-30°=120°.
∴$\widehat{AC}$的长为$\frac{120\pi×3}{180}=2\pi$.

22. 如图,O是两个同心圆的圆心,大圆的弦AB与小圆交于点C,D.
(1)求证：AC= BD；
(2)如果AB= 8,CD= 4,大圆面积是小圆面积的3倍,求大圆半径的长.

(1)过点O作OE⊥AB于点E.
∵OE⊥AB，
∴由垂径定理得AE=EB，CE=ED.
∵AC=AE-CE，BD=EB-ED，
∴AC=BD.
(2)设大圆半径为R，小圆半径为r.
∵大圆面积是小圆面积的3倍，
∴πR²=3πr²，即R²=3r².
过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，OC.
∵AB=8，CD=4，
∴AE=AB/2=4，CE=CD/2=2.
设OE=d，在Rt△OAE中，R²=AE²+OE²=4²+d²=16+d².
在Rt△OCE中，r²=CE²+OE²=2²+d²=4+d².
∴d²=R²-16，d²=r²-4.
∴R²-16=r²-4.
将R²=3r²代入，得3r²-16=r²-4，
解得r²=6，∴R²=3×6=18，R=3√2.
大圆半径的长为3√2.

23. 如图,在⊙O中,直径CD⊥弦AB于点E,AM⊥BC于点M,交CD于点N,连接AD.
(1)求证：AD= AN；
(2)若AB= 8,ON= 1,求⊙O的半径.

(1)见解析；(2)5

(1)证明：
∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴弧AD=弧BD，
∴∠DAB=∠ACD，
∵AM⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ANC+∠NCB=90°，∠B+∠NCB=90°，
∴∠ANC=∠B，
∵∠B=∠DAB，
∴∠ANC=∠DAB，
∵∠DAB=∠ACD，
∴∠ANC=∠ACD，
∴AN=AD；
(2)设⊙O的半径为r，
∵AB=8，CD⊥AB，
∴AE=BE=4，
设OE=x，则ON=1，
当N在OE上时，EN=OE-ON=x-1，
当N在OC上时，EN=ON-OE=1-x(不合题意，舍去)，
∵AN=AD，AE⊥CD，
∴DE=EN=x-1，
∵OD=r，OE=x，
∴DE=OD-OE=r-x，
∴r-x=x-1，
∴r=2x-1，
在Rt△AOE中，AO=r，AE=4，OE=x，
∴r²=x²+4²，
∴(2x-1)²=x²+16，
解得x=3或x=-5/3(舍去)，
∴r=2×3-1=5。