7. 在某幢建筑物内,从 $ 10 $ 米高的窗口 $ A $ 用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直,如图). 如果抛物线的最高点 $ M $ 离墙 $ 1 $ 米,离地面 $ \frac { 40 } { 3 } $ 米,则水流落地点 $ B $ 离墙的距离 $ O B $ 是()

A.$ 2 $ 米
B.$ 3 $ 米
C.$ 4 $ 米
D.$ 5 $ 米

B

设抛物线为顶点式$y = a(x - 1)^2+\frac{40}{3}$，由已知窗口$A$在$x = 0$时，$y = 10$，代入得$10=a(0 - 1)^2+\frac{40}{3}$，
即$10=a+\frac{40}{3}$，解得$a = 10-\frac{40}{3}=-\frac{10}{3}$。
所以抛物线方程为$y =-\frac{10}{3}(x - 1)^2+\frac{40}{3}$。
当$y = 0$时，$0 =-\frac{10}{3}(x - 1)^2+\frac{40}{3}$，
$\frac{10}{3}(x - 1)^2=\frac{40}{3}$，$(x - 1)^2 = 4$，
$x-1=\pm2$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$（舍去）。
所以水流落地点$B$离墙的距离$OB$是$3$米。

▲8. 某一型号飞机着陆后滑行的距离 $ y ( \mathrm { m } ) $ 与滑行时间 $ x ( \mathrm { s } ) $ 之间的函数表达式是 $ y = 60 x - 1.5 x ^ { 2 } $,该型号飞机着陆后滑行$ \mathrm { m } $ 才能停下来.

600

题目给出的函数表达式为 $ y = 60x - 1.5x^2 $，这是一个二次函数，其图像为开口向下的抛物线。
为了求出飞机滑行的最大距离，需要找到该二次函数的顶点，顶点处的 $ y $ 值即为滑行的最大距离。
二次函数顶点公式为：
$x = -\frac{b}{2a}$，
在本题中，$a = -1.5$，$b = 60$，代入公式得：
$x = -\frac{60}{2 × (-1.5)} = 20$，
将 $ x = 20 $ 代入原函数 $ y = 60x - 1.5x^2 $ 中，得到：
$y = 60 × 20 - 1.5 × 20^2 = 1200 - 600 = 600$，
所以，飞机着陆后滑行的最大距离为 600 米。

▲9. 某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有实线的长度和)为 $ 10 $ 米. 若设窗户上半部的半圆半径为 $ x $ 米,则当 $ x $ 等于多少米时,窗户的透光面积最大？最大面积是多少？

当$ x = \frac{10}{4 + \pi} $米时，最大面积为$ \frac{50}{4 + \pi} $平方米。

设半圆半径为$ x $米，矩形高度为$ y $米，矩形宽为$ 2x $米。
1. 总长度关系：
窗框总长=矩形两竖边+矩形底边+半圆弧长，即
$ 2y + 2x + \pi x = 10 $，
解得 $ y = \frac{10 - 2x - \pi x}{2} = 5 - x - \frac{\pi x}{2} $。
2. 透光面积表达式：
面积$ S = $矩形面积+半圆面积，
$ S = 2x \cdot y + \frac{1}{2}\pi x^2 $，
代入$ y $得：
$ S = 2x\left(5 - x - \frac{\pi x}{2}\right) + \frac{1}{2}\pi x^2 $
$ = 10x - 2x^2 - \pi x^2 + \frac{1}{2}\pi x^2 $
$ = - \left(2 + \frac{\pi}{2}\right)x^2 + 10x $。
3. 求最值：
二次函数$ S = ax^2 + bx + c $中，$ a = -\left(2 + \frac{\pi}{2}\right) ＜ 0 $，
对称轴$ x = -\frac{b}{2a} = \frac{10}{2\left(2 + \frac{\pi}{2}\right)} = \frac{10}{4 + \pi} $。
4. 最大面积：
代入$ x = \frac{10}{4 + \pi} $，得
$ S_{max} = \frac{50}{4 + \pi} $。

★10. 某单位大门呈抛物线形,如图所示,大门地面宽 $ A B = 4 \mathrm { m } $,顶部 $ C $ 离地面高度为 $ 4.4 \mathrm { m } $. 现有一辆满载货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面 $ 2.8 \mathrm { m } $,装货宽度为 $ 2.4 \mathrm { m } $. 请判断这辆汽车能否顺利通过大门(汽车的宽度小于 $ 2.4 \mathrm { m } $).

建立平面直角坐标系，设抛物线方程为 $y = ax^{2} + bx + c$（$a \neq 0$），由于大门对称，所以$b=0$，且顶点在y轴，设为$y = ax^{2} + k$。
根据题意，大门地面宽$AB = 4m$，即当$x = \pm 2$时，$y = 0$；
顶部$C$离地面高度为$4.4m$，即当$x = 0$时，$y = 4.4$。
代入得：
$\begin{cases}4a + k = 0, \\k = 4.4.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = -1.1, \\k = 4.4.\end{cases}$
所以抛物线方程为：
$y = -1.1x^{2} + 4.4$。
当货物顶部距地面$2.8m$时，即$y = 2.8$，代入方程得：
$2.8 = -1.1x^{2} + 4.4$。
解得：
$x^{2} = \frac{4.4 - 2.8}{1.1} = \frac{1.6}{1.1} = \frac{16}{11}$。
所以，$x = \pm \frac{4}{\sqrt{11}}$。
此时，大门的宽度为两倍的$x$值，即：
$2 × \frac{4}{\sqrt{11}} \approx 2 × 1.2 \approx 2.42(m)$（结果保留两位小数）。
由于$2.42 \gt 2.4$，所以汽车能顺利通过大门。