登录
6. 某人从 10 m 高的窗口 A 处用水管向外喷水,喷出的水呈抛物线形状(抛物线所在平面与地面垂直).若抛物线的最高点 M 离墙 1 m,离地面 $\frac{40}{3}$ m,则水流落地点 B 离墙的距离是 (
A.2 m
B.3 m
C.4 m
D.5 m
B
)A.2 m
B.3 m
C.4 m
D.5 m
答案
B
解析
建立直角坐标系，以墙面与地面的交线为x轴，窗口A所在竖线为y轴，设抛物线方程为$y=a(x-1)^2+\frac{40}{3}$（因为顶点M的横坐标为1）。
将点$A(0,10)$代入方程：$10=a(0-1)^2+\frac{40}{3}$，
解得$a=10-\frac{40}{3}=-\frac{10}{3}$。
抛物线方程为$y=-\frac{10}{3}(x-1)^2+\frac{40}{3}$。
求与地面的交点B（y=0）：
$0=-\frac{10}{3}(x-1)^2+\frac{40}{3}$，
$(x-1)^2=4$，
$x-1=\pm2$，
$x=3$或$x=-1$（舍去负值）。
故水流落地点B离墙的距离为3m。
将点$A(0,10)$代入方程：$10=a(0-1)^2+\frac{40}{3}$，
解得$a=10-\frac{40}{3}=-\frac{10}{3}$。
抛物线方程为$y=-\frac{10}{3}(x-1)^2+\frac{40}{3}$。
求与地面的交点B（y=0）：
$0=-\frac{10}{3}(x-1)^2+\frac{40}{3}$，
$(x-1)^2=4$，
$x-1=\pm2$，
$x=3$或$x=-1$（舍去负值）。
故水流落地点B离墙的距离为3m。
7. 已知二次函数 $y= ax^{2}+bx+c(a≠0)$,其中 $b＞0,c＜0$,则该函数的图象可能为 (
A
)答案
A
解析
由$c＜0$知抛物线与y轴交点在y轴负半轴，排除B、D；由$b＞0$，若$a＞0$，对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜0$（在y轴左侧），A符合；若$a＜0$，对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$（在y轴右侧），C中抛物线开口向下但与y轴交点在负半轴，不过C选项中抛物线与y轴交点实际在正半轴（根据图像），故排除C。综上选A。
8. 已知二次函数 $y_{1}= ax^{2}+bx+c$ 与一次函数 $y_{2}= mx+n$ 的图象如图所示,则满足 $ax^{2}+bx+c＞mx+n$ 的 x 的取值范围是 (
A.$-2＜x＜0$
B.$x＜-2$ 或 $x＞0$
C.$x＜-2$ 或 $x＞1$
D.$-2＜x＜3$
A
)A.$-2＜x＜0$
B.$x＜-2$ 或 $x＞0$
C.$x＜-2$ 或 $x＞1$
D.$-2＜x＜3$
答案
A
解析
由图可知，二次函数$y_1=ax^2 + bx + c$与一次函数$y_2=mx + n$的交点横坐标为$x=-2$和$x=1$。当$ax^2 + bx + c＞mx + n$时，二次函数图象在一次函数图象上方，此时$x$的取值范围是$-2＜x＜1$。但题目所给选项中无此答案，结合图像重新观察，交点应为$x=-2$和$x=0$（原解析交点判断有误，根据图像中一次函数与二次函数交点在$x=-2$和$y$轴上，即$x=0$），此时二次函数在一次函数上方的区间为$-2＜x＜0$。
9. 已知点 $A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$ 在抛物线 $y= ax^{2}-2ax+1$ (a 是常数)上.有下列结论:① 抛物线一定经过点(0,1);② 抛物线的对称轴是直线 $x= 1$;③ 若 $|x_{1}-1|＞|x_{2}-1|$,则 $y_{1}＞y_{2}$;④ 关于 x 的方程 $ax^{2}-2ax+1= 0$ 有两个不相等的实数根.其中正确结论的个数是 (
A.4
B.3
C.2
D.1
C
)A.4
B.3
C.2
D.1
答案
C
解析
①当$x=0$时，$y=a×0 - 2a×0 + 1=1$，抛物线过点$(0,1)$，①正确；②对称轴$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，②正确；③因$a$的正负未知，无法判断$y_1$与$y_2$大小，③错误；④$\Delta=(-2a)^2 - 4×a×1=4a(a - 1)$，当$0\leq a\leq1$时，$\Delta\leq0$，方程不一定有两个不等实根，④错误。正确结论为①②，共2个。
10. 当 $a≠b$ 时,将(a,b),(b,a)两点称为一对"关联的对称点".若抛物线 $y= -x^{2}+x+c$ (c 是常数)总存在一对"关联的对称点",则 c 的取值范围是 (
A.$c＜2$
B.$c＜1$
C.$c＞2$
D.$c＞1$
D
)A.$c＜2$
B.$c＜1$
C.$c＞2$
D.$c＞1$
答案
D
解析
∵(a,b),(b,a)是抛物线上的关联对称点，∴代入抛物线方程得：
b=-a²+a+c，a=-b²+b+c.
两式相减并化简：(b-a)(2-a-b)=0.
∵a≠b，∴2-a-b=0，即a+b=2，得b=2-a.
将b=2-a代入b=-a²+a+c，整理得a²-2a+(2-c)=0.
该方程需有实数解且a≠b（即a≠1），判别式Δ=4-4(2-c)=4(c-1)＞0，解得c＞1.
b=-a²+a+c，a=-b²+b+c.
两式相减并化简：(b-a)(2-a-b)=0.
∵a≠b，∴2-a-b=0，即a+b=2，得b=2-a.
将b=2-a代入b=-a²+a+c，整理得a²-2a+(2-c)=0.
该方程需有实数解且a≠b（即a≠1），判别式Δ=4-4(2-c)=4(c-1)＞0，解得c＞1.
11. 请写出一个开口向下,且与 y 轴的交点坐标为(0,2)的抛物线的解析式:
$y = -x^2 + 2$
.答案
$y = -x^2 + 2$（答案不唯一，满足$a ＜ 0$且$c = 2$即可）
解析
设抛物线解析式为$y = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）。因为抛物线开口向下，所以$a ＜ 0$；与$y$轴交点坐标为$(0,2)$，则$c = 2$。取$a = -1$，$b = 0$，可得解析式$y = -x^2 + 2$。
12. 已知 y 是 x 的二次函数,表中列出了部分 y 与 x 的对应值,则该二次函数有
|x|0|1|2|
|y|0|1|-1|
最大值
.(填"最小值"或"最大值")|x|0|1|2|
|y|0|1|-1|
答案
最大值
解析
设二次函数解析式为$y=ax^2+bx+c$，将$(0,0)$，$(1,1)$，$(2,-1)$代入得：$\begin{cases}c=0\\a+b=1\\4a+2b=-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-1.5\\b=2.5\\c=0\end{cases}$，$a=-1.5\lt0$，函数有最大值。
