21. (本小题 8 分)如图,在边长为 1 的正方形 ABCD 中,E 为 AD 的中点,连接 BE,将△ABE 沿 BE 折叠得到△FBE,BF 交 AC 于点 G,求 CG 的长.

解题步骤：
1. 折叠性质与已知条件
正方形 $ABCD$ 边长为1，$E$ 为 $AD$ 中点，故 $AE = ED = \frac{1}{2}$。折叠 $\triangle ABE$ 得 $\triangle FBE$，则 $AB = BF = 1$，$AE = EF = \frac{1}{2}$，$\angle BFE = 90°$。
2. 延长 $BF$ 交 $CD$ 于 $H$，设 $DH = x$
则 $CH = 1 - x$。由折叠性质知 $\angle HFE = 90°$，在 $Rt\triangle HFE$ 和 $Rt\triangle HDE$ 中：
$EH^2 = EF^2 + FH^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + FH^2$，
$EH^2 = ED^2 + DH^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + x^2$，
故 $FH^2 = x^2$，即 $FH = x$。
3. 勾股定理求 $x$
$BH = BF + FH = 1 + x$，在 $Rt\triangle BCH$ 中：
$BH^2 = BC^2 + CH^2$，即 $(1 + x)^2 = 1^2 + (1 - x)^2$，
解得 $x = \frac{1}{4}$，故 $CH = 1 - x = \frac{3}{4}$。
4. 相似三角形求 $CG$
因 $AB // CD$，则 $\triangle AGB \sim \triangle CGH$（$AA$ 相似），
故 $\frac{AG}{CG} = \frac{AB}{CH} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$。
设 $CG = y$，则 $AG = \frac{4}{3}y$，又 $AG + CG = AC = \sqrt{2}$，
即 $\frac{4}{3}y + y = \sqrt{2}$，解得 $y = \frac{3\sqrt{2}}{7}$。
结论：
$CG = \frac{3\sqrt{2}}{7}$

22. (本小题 10 分)
(1) 如图①,△ABC∽△ADE,求证:△ABD∽△ACE;
(2) 如图②,在△ABC 和△ADE 中,∠BAC= ∠DAE= 90°,∠ABC= ∠ADE= 30°,AC 与 DE 相交于点 F,点 D 在边 BC 上,$\frac{AD}{BD}= \sqrt{3}$,求$\frac{DF}{CF}$的值.

$(1)$ 证明$\triangle ABD\sim\triangle ACE$
解：
因为$\triangle ABC\sim\triangle ADE$，所以$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，$\angle BAC = \angle DAE$。
则$\angle BAC-\angle DAC=\angle DAE - \angle DAC$，即$\angle BAD=\angle CAE$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，$\angle BAD=\angle CAE$。
根据相似三角形判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），可得$\triangle ABD\sim\triangle ACE$。
$(2)$ 求$\frac{DF}{CF}$的值
解：
设$BD = x$，因为$\frac{AD}{BD}=\sqrt{3}$，所以$AD=\sqrt{3}x$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\angle ABC = 30^{\circ}$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\tan\angle ABC=\frac{AC}{AB}$，$\angle ADE = 30^{\circ}$，$\angle DAE = 90^{\circ}$，$\tan\angle ADE=\frac{AE}{AD}$。
因为$\angle BAC=\angle DAE = 90^{\circ}$，$\angle ABC=\angle ADE = 30^{\circ}$，所以$\triangle ABC\sim\triangle ADE$。
由$(1)$可知$\triangle ABD\sim\triangle ACE$，则$\angle ABD=\angle ACE = 30^{\circ}$。
又因为$\angle ADE = 30^{\circ}$，所以$\angle ADE=\angle ACE$。
因为$\angle DFC=\angle EFA$（对顶角相等），所以$\triangle DFC\sim\triangle EFA$。
在$Rt\triangle ADE$中，$AE = AD\tan\angle ADE=\sqrt{3}x×\frac{\sqrt{3}}{3}=x$。
在$Rt\triangle ABC$中，$AB = 2AD = 2\sqrt{3}x$，$AC=\sqrt{3}AB = 6x$。
因为$\triangle ABD\sim\triangle ACE$，所以$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$，即$\frac{\sqrt{3}x}{x}=\frac{x}{CE}$，解得$CE=\frac{x}{\sqrt{3}}$。
因为$\angle ADE=\angle ACE = 30^{\circ}$，$\angle DFC=\angle EFA$，所以$\frac{DF}{CF}=\frac{AD}{CE}$。
把$AD = \sqrt{3}x$，$CE=\frac{x}{\sqrt{3}}$代入可得：$\frac{DF}{CF}=\frac{\sqrt{3}x}{\frac{x}{\sqrt{3}}}= 3$。
综上，$(1)$ 得证；$(2)$$\boldsymbol{\frac{DF}{CF}=3}$。