24. (本小题8分)定义:在一个三角形中,如果一个角的度数是另一个角度数的3倍,那么我们称这样的三角形为和谐三角形.例如:三个内角分别为105°,40°,35°的三角形是和谐三角形.
【概念理解】
如图①,∠MON= 60°,在射线OM上找一点A,过点A作AB⊥OM,交ON于点B,以A为端点作射线AD,交线段OB于点C.(点C不与点O,B重合)
(1)∠ABO的度数是,△AOB (填"是"或"不是")和谐三角形;
(2)若∠ACB= 80°,求证:△AOC是和谐三角形.

【应用拓展】
如图②,点D在△ABC的边AB上,连接DC,作∠ADC的平分线,交AC于点E,在DC上取一点F,使∠EFC+∠BDC= 180°,∠DEF= ∠B.若△BCD是和谐三角形,求∠B的度数.

【概念理解】
(1) 30°；是
(2) 证明：
∵AB⊥OM，∴∠OAB=90°．
∵∠AOB=60°，∴∠ABO=180°-90°-60°=30°．
∵∠ACB=80°，在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABO-∠ACB=180°-30°-80°=70°．
∴∠OAC=∠OAB-∠BAC=90°-70°=20°．
在△AOC中，∠AOC=60°，∠OAC=20°，
∴∠AOC=3∠OAC．
∴△AOC是和谐三角形．
【应用拓展】
36°
解析：
设∠B=x，∵∠DEF=∠B=x，∠EFC+∠BDC=180°，∠EFC+∠DFE=180°，∴∠BDC=∠DFE．
在△DEF中，∠DFE+∠DEF+∠EDF=180°，∴∠BDC+x+∠EDF=180°．
∵DE平分∠ADC，设∠ADC=2y，则∠EDF=y，∴∠BDC=180°-2y．
代入得：180°-2y+x+y=180°，∴x=y，即∠EDF=x，∠ADC=2x，∠BDC=180°-2x．
在△BCD中，∠BCD=180°-∠B-∠BDC=180°-x-(180°-2x)=x．
∵△BCD是和谐三角形，∴有一个角是另一个角的3倍．
若∠BDC=3∠B，则180°-2x=3x，解得x=36°；
若∠B=3∠BDC，则x=3(180°-2x)，解得x=540/7，此时∠FEC=180°-3x＜0°（舍去）．
∴∠B=36°．