16. 已知直线$l_{1}// l_{2}// l_{3}$,且$l_{1}与l_{2}$之间的距离为 1,$l_{2}与l_{3}$之间的距离为 3.把一块含有 45°角的直角三角尺按如图所示放置,顶点 A,B,C 恰好分别落在三条直线上,则△ABC 的面积为______.

过点A作AD⊥l₂于D，过点B作BE⊥l₁于E，过点C作CF⊥l₂于F。
因为l₁//l₂//l₃，AD⊥l₂，BE⊥l₁，CF⊥l₂，所以AD=1，CF=3，∠ADB=∠BFC=90°。
设∠ABD=α，则∠DBC=45°-α。
在Rt△ABD中，tanα=AD/BD=1/BD，所以BD=1/tanα。
在Rt△BFC中，tan(45°-α)=CF/BF=3/BF，所以BF=3/tan(45°-α)。
因为tan(45°-α)=(1-tanα)/(1+tanα)，设tanα=k，则BF=3(1+k)/(1 - k)。
又因为AD//CF，AB与BC相交于B，所以△ABD∽△CBF，所以AD/CF=BD/BF，即1/3=BD/BF。
所以BD=BF/3，即1/k= [3(1+k)/(1 - k)]/3，化简得1/k=(1+k)/(1 - k)，解得k=√2 - 1。
则BD=1/k=√2 + 1，BF=3(1 + k)/(1 - k)=3√2 + 3。
AB=√(AD² + BD²)=√(1 + (√2 + 1)²)=√(4 + 2√2)，BC=√(CF² + BF²)=√(9 + (3√2 + 3)²)=√(36 + 18√2)。
所以△ABC的面积=1/2·AB·BC·sin45°=1/2·√(4 + 2√2)·√(36 + 18√2)·√2/2=5。
5

17. 如图,在四边形 ABCD 中,AB= AD,∠B+∠ADC= 180°,E,F 分别是边 BC,CD 的延长线上的点,$\angle EAF= \frac{1}{2}\angle BAD$.若 DF= 1,BE= 5,则线段 EF 的长为.

4

在BC上截取BG=DF=1，连接AG。
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADF=180°，
∴∠B=∠ADF。
∵AB=AD，BG=DF，
∴△ABG≌△ADF(SAS)，
∴AG=AF，∠BAG=∠DAF。
∵∠EAF=1/2∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF=∠EAF，
∴∠BAE+∠BAG=∠EAF，即∠GAE=∠EAF。
∵AG=AF，AE=AE，
∴△GAE≌△FAE(SAS)，
∴EF=EG=BE-BG=5-1=4。
4

18. 如图,在四边形 ABCD 中,AB= AD,∠BAD= ∠BCD= 90°,连接 AC.若 AC= 4,则四边形 ABCD 的面积为______.

8

过点A作AE⊥AC，交CD的延长线于点E。
∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠DAE=∠BAC。
∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠ADC+∠ADE=180°，
∴∠ADE=∠ABC。
∵AD=AB，
∴△ADE≌△ABC（ASA）。
∴AE=AC=4，S_△ADE=S_△ABC。
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=S_△ADE+S_△ACD=S_△ACE。
∵S_△ACE=$\frac{1}{2}$×AC×AE=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
∴四边形ABCD的面积为8。

19. (本小题 8 分)如图,AF//BE,且 AF= BE,点 C,D 在 AB 上,且 AC= BD.请指出图中有哪些全等三角形,并任选一对给予证明.

全等三角形有：△ACF≌△BDE，△ADF≌△BCE。
证明△ACF≌△BDE：
∵AF//BE，
∴∠A=∠B。
∵AC=BD，AF=BE，
∴△ACF≌△BDE（SAS）。