登录
6. 下列各式中,可能取值为零的是(
A.$ \frac{m^2 + 1}{m^2 - 1} $
B.$ \frac{m^2 - 1}{m + 1} $
C.$ \frac{m + 1}{m^2 - 1} $
D.$ \frac{m^2 + 1}{m + 1} $
B
)A.$ \frac{m^2 + 1}{m^2 - 1} $
B.$ \frac{m^2 - 1}{m + 1} $
C.$ \frac{m + 1}{m^2 - 1} $
D.$ \frac{m^2 + 1}{m + 1} $
答案
B
解析
要使分式的值为零，需分子为零且分母不为零。
A. 分子$m^2 + 1$，因为$m^2 \geq 0$，所以$m^2 + 1 \geq 1$，分子不可能为零，分式的值不可能为零。
B. 分子$m^2 - 1 = 0$，解得$m = \pm 1$。当$m = 1$时，分母$m + 1 = 2 \neq 0$，分式有意义；当$m = -1$时，分母$m + 1 = 0$，分式无意义。所以当$m = 1$时，分式的值为零，可能取值为零。
C. 分子$m + 1 = 0$，解得$m = -1$。此时分母$m^2 - 1 = (-1)^2 - 1 = 0$，分式无意义，分式的值不可能为零。
D. 分子$m^2 + 1$，因为$m^2 \geq 0$，所以$m^2 + 1 \geq 1$，分子不可能为零，分式的值不可能为零。
综上，可能取值为零的是B。
B
A. 分子$m^2 + 1$，因为$m^2 \geq 0$，所以$m^2 + 1 \geq 1$，分子不可能为零，分式的值不可能为零。
B. 分子$m^2 - 1 = 0$，解得$m = \pm 1$。当$m = 1$时，分母$m + 1 = 2 \neq 0$，分式有意义；当$m = -1$时，分母$m + 1 = 0$，分式无意义。所以当$m = 1$时，分式的值为零，可能取值为零。
C. 分子$m + 1 = 0$，解得$m = -1$。此时分母$m^2 - 1 = (-1)^2 - 1 = 0$，分式无意义，分式的值不可能为零。
D. 分子$m^2 + 1$，因为$m^2 \geq 0$，所以$m^2 + 1 \geq 1$，分子不可能为零，分式的值不可能为零。
综上，可能取值为零的是B。
B
7. 在下列分式中,无论 $ x $ 为何值时,分式的值恒为正数的是(
A.$ \frac{x^2}{x + 4} $
B.$ \frac{x + 1}{x^2} $
C.$ \frac{|x|}{x^2 + 1} $
D.$ \frac{|x| + 1}{x^2 + 1} $
D
)A.$ \frac{x^2}{x + 4} $
B.$ \frac{x + 1}{x^2} $
C.$ \frac{|x|}{x^2 + 1} $
D.$ \frac{|x| + 1}{x^2 + 1} $
答案
D
解析
A. 当$x=-5$时，$x+4=-1$，$\frac{x^2}{x + 4}=\frac{25}{-1}=-25＜0$，不符合。
B. 当$x=-2$时，$x+1=-1$，$\frac{x + 1}{x^2}=\frac{-1}{4}=-\frac{1}{4}＜0$，不符合。
C. 当$x=0$时，$\frac{|x|}{x^2 + 1}=0$，不符合。
D. 因为$|x|+1\geq1＞0$，$x^2 + 1\geq1＞0$，所以$\frac{|x| + 1}{x^2 + 1}＞0$，符合。
结论：D
B. 当$x=-2$时，$x+1=-1$，$\frac{x + 1}{x^2}=\frac{-1}{4}=-\frac{1}{4}＜0$，不符合。
C. 当$x=0$时，$\frac{|x|}{x^2 + 1}=0$，不符合。
D. 因为$|x|+1\geq1＞0$，$x^2 + 1\geq1＞0$，所以$\frac{|x| + 1}{x^2 + 1}＞0$，符合。
结论：D
8. 如果分式 $ \frac{|x| - 2}{x^2 + 2x} $ 的值等于 0,那么 $ x $ 的值是(
A.2
B.-2
C.-2 或 2
D.2 或 0
A
)A.2
B.-2
C.-2 或 2
D.2 或 0
答案
A
解析
要使分式$\frac{|x| - 2}{x^2 + 2x}$的值为$0$，需满足分子为$0$且分母不为$0$。
1. 分子为$0$时：$|x| - 2 = 0$，解得$x = \pm 2$。
2. 分母不为$0$时：$x^2 + 2x \neq 0$，即$x(x + 2) \neq 0$，解得$x \neq 0$且$x \neq -2$。
综上，$x = 2$。
A
1. 分子为$0$时：$|x| - 2 = 0$，解得$x = \pm 2$。
2. 分母不为$0$时：$x^2 + 2x \neq 0$，即$x(x + 2) \neq 0$，解得$x \neq 0$且$x \neq -2$。
综上，$x = 2$。
A
9. 当 $ x = $
0或-1
时,分式 $ \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} $ 无意义.答案
0或-1
解析
要使分式$\frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$无意义，则分母为零。
当$x = 0$时，$\frac{1}{x}$无意义，原分式无意义；
当$1 + \frac{1}{x}=0$时，$\frac{1}{x}=-1$，解得$x=-1$，此时原分式分母为零，无意义。
0或-1
当$x = 0$时，$\frac{1}{x}$无意义，原分式无意义；
当$1 + \frac{1}{x}=0$时，$\frac{1}{x}=-1$，解得$x=-1$，此时原分式分母为零，无意义。
0或-1
10. 当 $ x = 3 $ 时,分式 $ \frac{x + a}{3x - b} $ 的值为零,而当 $ x = 1 $ 时,分式无意义,则 $ a = $
-3
,$ b = $3
.答案
-3 3
解析
当$x = 3$时，分式$\frac{x + a}{3x - b}$的值为零，所以分子$x + a = 0$，即$3 + a = 0$，解得$a=-3$。
当$x = 1$时，分式无意义，所以分母$3x - b = 0$，即$3×1 - b = 0$，解得$b = 3$。
$a=-3$，$b=3$
当$x = 1$时，分式无意义，所以分母$3x - b = 0$，即$3×1 - b = 0$，解得$b = 3$。
$a=-3$，$b=3$
11. 若式子 $ \frac{2}{x - 1} - (x - 2)^0 $ 有意义,则 $ x $ 的取值范围是
x≠1且x≠2
.答案
x≠1且x≠2
解析
要使式子$\frac{2}{x - 1} - (x - 2)^0$有意义，需满足：
1. 分式$\frac{2}{x - 1}$的分母不为$0$，即$x - 1 \neq 0$，解得$x \neq 1$；
2. 零次幂$(x - 2)^0$的底数不为$0$，即$x - 2 \neq 0$，解得$x \neq 2$。
综上，$x$的取值范围是$x \neq 1$且$x \neq 2$。
1. 分式$\frac{2}{x - 1}$的分母不为$0$，即$x - 1 \neq 0$，解得$x \neq 1$；
2. 零次幂$(x - 2)^0$的底数不为$0$，即$x - 2 \neq 0$，解得$x \neq 2$。
综上，$x$的取值范围是$x \neq 1$且$x \neq 2$。
12. 一组按规律排列的式子：$ \frac{1}{a^2} $,$ -\frac{4}{a^5} $,$ \frac{9}{a^8} $,$ -\frac{16}{a^{11}} $,…($ a \neq 0 $),其中第 10 个式子是
$-\frac{100}{a^{29}}$
.答案
$-\frac{100}{a^{29}}$
解析
观察这组式子：分子依次为$1^2, -2^2, 3^2, -4^2, \ldots$，符号规律为奇正偶负，第$n$项分子为$(-1)^{n+1}n^2$；分母中$a$的指数依次为$2, 5, 8, 11, \ldots$，相邻两项相差$3$，首项为$2$，第$n$项分母中$a$的指数为$3n - 1$。
第$10$个式子，$n = 10$，符号为负，分子为$-10^2 = -100$，分母中$a$的指数为$3×10 - 1 = 29$，所以第$10$个式子是$-\frac{100}{a^{29}}$。
$-\frac{100}{a^{29}}$
第$10$个式子，$n = 10$，符号为负，分子为$-10^2 = -100$，分母中$a$的指数为$3×10 - 1 = 29$，所以第$10$个式子是$-\frac{100}{a^{29}}$。
$-\frac{100}{a^{29}}$
13. 已知当 $ x = -4 $ 时,分式 $ \frac{x - b}{x + a} $ 无意义,当 $ x = 2 $ 时,分式的值为零,求 $ a - b $ 的值.
答案
解:当由x=-4时,分式$\frac{x-b}{x+a}$无意义,得-4+a=0,即a=4.由当x=2时,分式$\frac{x-b}{x+a}$的值为零,得2-b=0,即b=2.因此,a-b=4-2=2.
14. 当 $ x $ 取何值时,分式 $ \frac{6 - 2|x|}{(x + 3)(x - 1)} $ 满足下列要求：
(1)值为零；(2)无意义；(3)有意义.
(1)值为零；(2)无意义；(3)有意义.
答案
解:
(1)由题意,得$\begin{cases}6-2|x|=0,\\(x+3)(x-1)≠0,\end{cases}$解得x=3,
∴当x=3时,分式的值为0.
(2)解(x+3)(x-1)=0,得x=-3或x=1,
∴当x=-3或x=1时,分式无意义.
(3)由
(2)可知,当x≠-3且x≠1时,分式有意义.
(1)由题意,得$\begin{cases}6-2|x|=0,\\(x+3)(x-1)≠0,\end{cases}$解得x=3,
∴当x=3时,分式的值为0.
(2)解(x+3)(x-1)=0,得x=-3或x=1,
∴当x=-3或x=1时,分式无意义.
(3)由
(2)可知,当x≠-3且x≠1时,分式有意义.
15. 若 $ a $ 是整数,且分式 $ \frac{2a - 7}{a - 2} $ 的值是正整数,试求出 $ a $ 的值.
答案
解:$\frac{2a-7}{a-2}=\frac{2(a-2)-3}{a-2}=2-\frac{3}{a-2}$.由题意得a-2可以取3,1,-1,-3.当a-2=3,即a=5时,2-$\frac{3}{a-2}$=1;当a-2=1,即a=3时,2-$\frac{3}{a-2}$=-1(不合题意,舍去);当a-2=-1,即a=1时,2-$\frac{3}{a-2}$=5;当a-2=-3,即a=-1时,2-$\frac{3}{a-2}$=3.综上所述,a的值为-1,1,5.
解析
解：$\frac{2a - 7}{a - 2} = \frac{2(a - 2) - 3}{a - 2} = 2 - \frac{3}{a - 2}$。
因为分式的值是正整数，所以$\frac{3}{a - 2}$是整数，且$2 - \frac{3}{a - 2} ＞ 0$。
$a - 2$是$3$的因数，$3$的因数为$\pm 1$，$\pm 3$，即$a - 2 = 3$，$1$，$-1$，$-3$。
当$a - 2 = 3$时，$a = 5$，此时$2 - \frac{3}{3} = 1$（正整数，符合题意）；
当$a - 2 = 1$时，$a = 3$，此时$2 - \frac{3}{1} = -1$（不是正整数，舍去）；
当$a - 2 = -1$时，$a = 1$，此时$2 - \frac{3}{-1} = 5$（正整数，符合题意）；
当$a - 2 = -3$时，$a = -1$，此时$2 - \frac{3}{-3} = 3$（正整数，符合题意）。
综上，$a$的值为$-1$，$1$，$5$。
因为分式的值是正整数，所以$\frac{3}{a - 2}$是整数，且$2 - \frac{3}{a - 2} ＞ 0$。
$a - 2$是$3$的因数，$3$的因数为$\pm 1$，$\pm 3$，即$a - 2 = 3$，$1$，$-1$，$-3$。
当$a - 2 = 3$时，$a = 5$，此时$2 - \frac{3}{3} = 1$（正整数，符合题意）；
当$a - 2 = 1$时，$a = 3$，此时$2 - \frac{3}{1} = -1$（不是正整数，舍去）；
当$a - 2 = -1$时，$a = 1$，此时$2 - \frac{3}{-1} = 5$（正整数，符合题意）；
当$a - 2 = -3$时，$a = -1$，此时$2 - \frac{3}{-3} = 3$（正整数，符合题意）。
综上，$a$的值为$-1$，$1$，$5$。
