登录
题型 3 先将式子 $(x - \frac{x}{x + 1}) ÷ (1 + \frac{1}{x^2 - 1})$ 化简,再从 $-3 ＜ x ＜ 3$ 的范围内,选取一个合适的整数 $x$ 代入求值.
答案
解：原式$=\frac{x^2}{x+1}\cdot\frac{x^2-1}{x^2}=x-1$.答案不唯一，如取$x=2$，原式$=1$.（注：$x$不能取 0，1，-1）.
解析
解：原式$=\left(\frac{x(x+1)}{x+1}-\frac{x}{x+1}\right)÷\left(\frac{x^2-1}{x^2-1}+\frac{1}{x^2-1}\right)$
$=\frac{x^2+x-x}{x+1}÷\frac{x^2}{x^2-1}$
$=\frac{x^2}{x+1}\cdot\frac{(x+1)(x-1)}{x^2}$
$=x-1$
$x$不能取$0$，$1$，$-1$，取$x=2$，原式$=2-1=1$
$=\frac{x^2+x-x}{x+1}÷\frac{x^2}{x^2-1}$
$=\frac{x^2}{x+1}\cdot\frac{(x+1)(x-1)}{x^2}$
$=x-1$
$x$不能取$0$，$1$，$-1$，取$x=2$，原式$=2-1=1$
题型 4 计算: $\frac{1}{x^2 - y^2} ÷ (\frac{1}{x + y} + \frac{1}{x - y})$.
错解:
原式 $= \frac{1}{x^2 - y^2} ÷ \frac{1}{x + y} + \frac{1}{x^2 - y^2} ÷ \frac{1}{x - y}$
$= \frac{x + y}{(x + y)(x - y)} + \frac{x - y}{(x + y)(x - y)}$
$= \frac{2x}{(x + y)(x - y)}$.
错解分析:
正解:
错解:
原式 $= \frac{1}{x^2 - y^2} ÷ \frac{1}{x + y} + \frac{1}{x^2 - y^2} ÷ \frac{1}{x - y}$
$= \frac{x + y}{(x + y)(x - y)} + \frac{x - y}{(x + y)(x - y)}$
$= \frac{2x}{(x + y)(x - y)}$.
错解分析:
错用了分配律
.正解:
原式$=\frac{1}{(x+y)(x-y)}÷\left[\frac{x-y}{(x+y)(x-y)}+\frac{x+y}{(x+y)(x-y)}\right]=\frac{1}{(x+y)(x-y)}÷\frac{2x}{(x+y)(x-y)}=\frac{1}{2x}$.
答案
错用了分配律
原式$=\frac{1}{(x+y)(x-y)}÷\left[\frac{x-y}{(x+y)(x-y)}+\frac{x+y}{(x+y)(x-y)}\right]=\frac{1}{(x+y)(x-y)}÷\frac{2x}{(x+y)(x-y)}=\frac{1}{2x}$.
原式$=\frac{1}{(x+y)(x-y)}÷\left[\frac{x-y}{(x+y)(x-y)}+\frac{x+y}{(x+y)(x-y)}\right]=\frac{1}{(x+y)(x-y)}÷\frac{2x}{(x+y)(x-y)}=\frac{1}{2x}$.
1. 化简 $(a - 1) + (\frac{1}{a} - 1) \cdot a$ 的结果是 (
A. $-a^2$ B. $0$ C. $a^2$ D. $-1$
B
)A. $-a^2$ B. $0$ C. $a^2$ D. $-1$
答案
@@1.B
2. 计算: $(\frac{1}{x + y} + \frac{1}{y - x}) ÷ (\frac{y^2}{xy - y^2}) = $______.
答案
2.$-\frac{2}{x+y}$
3. 先化简,再求值: $(\frac{x - 1}{x - 3} - \frac{x - 4}{x}) ÷ \frac{(x - 2)(x + 3)}{x^2 + 3x}$, 其中 $x = 1$.
答案
3.解：原式$=\left[\frac{x(x-1)}{x(x-3)}-\frac{(x-4)(x-3)}{x(x-3)}\right]\cdot\frac{x(x+3)}{(x-2)(x+3)}$
$=\frac{x^2-x-x^2+7x-12}{x(x-3)}\cdot\frac{x}{x-2}$
$=\frac{6}{x-3}$.
当$x=1$时，原式$=-3$.
$=\frac{x^2-x-x^2+7x-12}{x(x-3)}\cdot\frac{x}{x-2}$
$=\frac{6}{x-3}$.
当$x=1$时，原式$=-3$.
1. 化简 $(a - \frac{b^2}{a}) \cdot \frac{a}{a - b}$ 的结果是 (
A.$a - b$
B.$\frac{1}{a - b}$
C.$a + b$
D.$\frac{1}{a + b}$
C
)A.$a - b$
B.$\frac{1}{a - b}$
C.$a + b$
D.$\frac{1}{a + b}$
答案
.C
2. 化简 $\frac{a^2 - 9}{a^2 + 6a + 9} ÷ (1 - \frac{3}{a})$ 的结果是 ( )
A.$2$
B.$\frac{3}{a + 3}$
C.$\frac{3}{a - 3}$
D.$\frac{a}{a + 3}$
A.$2$
B.$\frac{3}{a + 3}$
C.$\frac{3}{a - 3}$
D.$\frac{a}{a + 3}$
答案
D
3. 已知两个分式的和为 $\frac{x + 3y}{xy}$, 则这两个分式为______. (只写一组即可)
答案
3.答案不唯一，如：$\frac{1}{y}$，$\frac{3}{x}$
4. 计算: $(\frac{2x}{3y})^2 ÷ \frac{6x}{2y} + \frac{x^2}{2y^2} ÷ \frac{2y^2}{x} = $______.
答案
4.$\frac{16xy^3+27x^3}{108y^4}$
5. 先化简,再求值: $(\frac{x}{x - 1} - \frac{2}{1 - x}) ÷ \frac{1}{x - 1}$, 其中 $x = -\frac{1}{2}$.
答案
5.解：原式$=\left(\frac{x}{x-1}+\frac{2}{x-1}\right)\cdot(x-1)$
$=\frac{x+2}{x-1}\cdot(x-1)=x+2$.
把$x=-\frac{1}{2}$代入，得原式$=\frac{3}{2}$.
$=\frac{x+2}{x-1}\cdot(x-1)=x+2$.
把$x=-\frac{1}{2}$代入，得原式$=\frac{3}{2}$.
6. 以下是某同学化简分式 $(\frac{x + 1}{x^2 - 4} - \frac{1}{x + 2}) ÷ \frac{3}{x - 2}$ 的部分运算过程:
$\begin{array}{l}解: 原式 = \left[\frac{x + 1}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{1}{x + 2}\right] × \frac{x - 2}{3} ① \\= \left[\frac{x + 1}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{x - 2}{(x + 2)(x - 2)}\right] × \frac{x - 2}{3} ② \\= \frac{x + 1 - x - 2}{(x + 2)(x - 2)} × \frac{x - 2}{3} ③ ……\\ \end{array}\\ $
(1) 上面的运算过程中第______步出现了错误.
(2) 请你写出完整的解答过程.
$\begin{array}{l}解: 原式 = \left[\frac{x + 1}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{1}{x + 2}\right] × \frac{x - 2}{3} ① \\= \left[\frac{x + 1}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{x - 2}{(x + 2)(x - 2)}\right] × \frac{x - 2}{3} ② \\= \frac{x + 1 - x - 2}{(x + 2)(x - 2)} × \frac{x - 2}{3} ③ ……\\ \end{array}\\ $
(1) 上面的运算过程中第______步出现了错误.
(2) 请你写出完整的解答过程.
答案
6.解：
(1)③.
(2)原式$=\left[\frac{x+1}{(x+2)(x-2)}-\frac{1}{x+2}\right]×\frac{x-2}{3}$
$=\left[\frac{x+1}{(x+2)(x-2)}-\frac{x-2}{(x+2)(x-2)}\right]×\frac{x-2}{3}$
$=\frac{x+1-x+2}{(x+2)(x-2)}×\frac{x-2}{3}$
$=\frac{3}{(x+2)(x-2)}×\frac{x-2}{3}$
$=\frac{1}{x+2}$.
(1)③.
(2)原式$=\left[\frac{x+1}{(x+2)(x-2)}-\frac{1}{x+2}\right]×\frac{x-2}{3}$
$=\left[\frac{x+1}{(x+2)(x-2)}-\frac{x-2}{(x+2)(x-2)}\right]×\frac{x-2}{3}$
$=\frac{x+1-x+2}{(x+2)(x-2)}×\frac{x-2}{3}$
$=\frac{3}{(x+2)(x-2)}×\frac{x-2}{3}$
$=\frac{1}{x+2}$.
