1. 计算：(1)$ (-5a^{4}) \cdot (-8ab^{2}) = $；
(2)$ (-x^{n}y^{n + 1}z) \cdot (x^{3}y^{2n})^{2} = $。

(1)$40a^{5}b^{2}$；(2)$-x^{n + 6}y^{5n + 1}z$

(1) 根据单项式乘法的规则，系数相乘，字母部分同底数幂相乘，
$(-5a^{4}) \cdot (-8ab^{2})$
$= (-5 × -8) \cdot (a^{4} \cdot a) \cdot b^{2}$
$= 40 \cdot a^{5} \cdot b^{2}$
$= 40a^{5}b^{2}$
(2) 首先根据幂的乘方规则，有：
$(x^{3}y^{2n})^{2} = x^{6}y^{4n}$
再根据单项式乘法的规则，得：
$(-x^{n}y^{n + 1}z) \cdot (x^{6}y^{4n})$
$= (-1 \cdot 1) \cdot (x^{n} \cdot x^{6}) \cdot (y^{n + 1} \cdot y^{4n}) \cdot z$
$= -x^{n + 6}y^{5n + 1}z$

2. 计算$ (-5ax) \cdot (3x^{2})^{2} \cdot y^{2} $的结果是,计算$ -2ab \cdot 3b $的结果是。

$-45ax^{5}y^{2}$；$-6ab^{2}$

1. 计算 $(-5ax) \cdot (3x^{2})^{2} \cdot y^{2}$：
先计算 $(3x^{2})^{2} = 3^{2} \cdot (x^{2})^{2} = 9x^{4}$。
然后计算 $(-5ax) \cdot 9x^{4} \cdot y^{2} = -5 \cdot 9 \cdot a \cdot x \cdot x^{4} \cdot y^{2} = -45ax^{5}y^{2}$。
2. 计算 $-2ab \cdot 3b$：
直接相乘得 $-2 \cdot 3 \cdot a \cdot b \cdot b = -6ab^{2}$。

3. 某同学在计算一个多项式乘以$ -3x^{2} $时,因抄错运算符号,算成了加上$ -3x^{2} $,得到的结果是$ x^{2} - 4x + 1 $,那么正确的计算结果是。

设原多项式为$A$，
根据题意，该同学错误地将多项式$A$与$-3x^{2}$相加，得到：
$A + (-3x^{2}) = x^{2} - 4x + 1$，
从上式中解出$A$，得：
$A = x^{2} - 4x + 1 + 3x^{2} = 4x^{2} - 4x + 1$，
使用原多项式$A$与$-3x^{2}$进行乘法运算，得：
$A × (-3x^{2}) = (4x^{2} - 4x + 1) × (-3x^{2})$
$= -12x^{4} + 12x^{3} - 3x^{2}$。
故答案为：$-12x^{4} + 12x^{3} - 3x^{2}$。

4. 下面计算正确的是()

A.$ 3x^{3} \cdot 5x^{2} = 15x^{6} $
B.$ 4y \cdot (-2xy^{2}) = -8xy^{3} $
C.$ (-3x)^{2} \cdot 4x^{3} = -12x^{5} $
D.$ (-2a)^{3}(-3a)^{2} = -54a^{5} $

B

A. $3x^{3} \cdot 5x^{2} = 15x^{3+2} = 15x^{5}$，原计算错误，故A选项错误；
B. $4y \cdot (-2xy^{2}) = -8xy^{1+2} = -8xy^{3}$，计算正确，故B选项正确；
C. $(-3x)^{2} \cdot 4x^{3} = 9x^{2} \cdot 4x^{3} = 36x^{5}$，原计算错误，故C选项错误；
D. $(-2a)^{3}(-3a)^{2} = -8a^{3} \cdot 9a^{2} = -72a^{5}$，原计算错误，故D选项错误。

5. 如果单项式$ -3x^{4a - b}y^{2} 与 \frac{1}{3}x^{3}y^{a + b} $是同类项,那么这两个单项式的积是()
A.$ x^{6}y^{4} $
B.$ -x^{3}y^{2} $
C.$ -\frac{8}{3}x^{3}y^{2} $
D.$ -x^{6}y^{4} $

D

根据同类项的定义，两个单项式为同类项时，对应的指数相等，即：
$4a - b = 3$（对于$x$的指数），
$a + b = 2$（对于$y$的指数）。
解方程组：
由$a + b = 2$得$b = 2 - a$，
代入$4a - b = 3$：
$4a - (2 - a) = 3$
$5a - 2 = 3$
$a = 1$，
$b = 1$。
将$a = 1, b = 1$代入原单项式：
$-3x^{4 \cdot 1 - 1}y^{2} = -3x^{3}y^{2}$，
$\frac{1}{3}x^{3}y^{1 + 1} = \frac{1}{3}x^{3}y^{2}$。
计算乘积：
$(-3x^{3}y^{2}) \cdot \left(\frac{1}{3}x^{3}y^{2}\right) = -x^{6}y^{4}$。

6. 计算：
(1)$ 2a^{2}×(-2ab)×(-ab)^{3} $；
(2)$ (2m^{2}n)^{2} + (-mn)(-\frac{1}{3}m^{3}n) $；
(3)$ 3x^{3}y^{3} \cdot (-\frac{2}{3}x^{2}y^{2}) + (-\frac{1}{3}x^{2}y)^{3} \cdot 9xy^{2} $。

(1)
$(-ab)^{3}=-a^{3}b^{3}$
$2a^{2}×(-2ab)×(-a^{3}b^{3})$
$=2a^{2}×(-2ab)×(-1)× a^{3}b^{3}$
$=2×(-2)×(-1)a^{2 + 1+3}b^{1 + 3}$
$=4a^{6}b^{4}$
(2)
$(2m^{2}n)^{2}=4m^{4}n^{2}$
$(-mn)(-\frac{1}{3}m^{3}n)=\frac{1}{3}m^{4}n^{2}$
$(2m^{2}n)^{2}+(-mn)(-\frac{1}{3}m^{3}n)$
$=4m^{4}n^{2}+\frac{1}{3}m^{4}n^{2}$
$=(4+\frac{1}{3})m^{4}n^{2}$
$=\frac{13}{3}m^{4}n^{2}$
(3)
$3x^{3}y^{3}\cdot(-\frac{2}{3}x^{2}y^{2})=-2x^{5}y^{5}$
$(-\frac{1}{3}x^{2}y)^{3}=-\frac{1}{27}x^{6}y^{3}$
$(-\frac{1}{27}x^{6}y^{3})\cdot9xy^{2}=-\frac{1}{3}x^{7}y^{5}$
$3x^{3}y^{3}\cdot(-\frac{2}{3}x^{2}y^{2})+(-\frac{1}{3}x^{2}y)^{3}\cdot9xy^{2}$
$=-2x^{5}y^{5}-\frac{1}{3}x^{7}y^{5}$

7. (1)先化简,再求值：$ 2x^{2}y(-2xy^{2})^{3} + (2xy)^{3} \cdot (-xy^{2})^{2} $,其中$ x = 4 $,$ y = \frac{1}{4} $；
(2)已知$ \frac{1}{4}(x^{2}y^{3})^{m} \cdot (2xy^{n + 1})^{2} = x^{4}y^{9} $,求$ m $,$ n $的值。

(1)
首先化简式子：
$2x^{2}y(-2xy^{2})^{3} + (2xy)^{3} \cdot (-xy^{2})^{2}$
$= 2x^{2}y \cdot (-8x^{3}y^{6}) + 8x^{3}y^{3} \cdot x^{2}y^{4}$
$= -16x^{5}y^{7} + 8x^{5}y^{7}$
$= -8x^{5}y^{7}$
当 $x = 4$，$y = \frac{1}{4}$ 时，
$-8x^{5}y^{7}$
$= -8 × 4^{5} × \left(\frac{1}{4}\right)^{7}$
$= -8 × 1024 × \frac{1}{16384}$
$= -\frac{1}{2}$
(2)
由题意，
$\frac{1}{4}(x^{2}y^{3})^{m} \cdot (2xy^{n + 1})^{2} = x^{4}y^{9}$
展开得：
$\frac{1}{4}x^{2m}y^{3m} \cdot 4x^{2}y^{2n + 2} = x^{4}y^{9}$
进一步化简为：
$x^{2m + 2}y^{3m + 2n + 2} = x^{4}y^{9}$
根据指数相等的原则，有：
$2m + 2 = 4$
$3m + 2n + 2 = 9$
解得：
$m = 1$
$n = 2$

8. 市环保局将一个长$ 2×10^{6} $分米、宽$ 4×10^{4} $分米、高$ 8×10^{2} $分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化,请你想一想,能否恰好有一个正方体贮水池将这些废水刚好装满？若有,求出正方体贮水池的棱长；若没有,请说明理由。

能恰好有一个正方体贮水池将这些废水刚好装满。
长方体废水池体积：$V = (2×10^{6})×(4×10^{4})×(8×10^{2})$
$= (2×4×8)×(10^{6}×10^{4}×10^{2})$
$= 64×10^{12}$（立方分米）
设正方体棱长为$l$，则$l^{3}=64×10^{12}$。
$\because 64=4^{3}$，$10^{12}=(10^{4})^{3}$，
$\therefore l^{3}=4^{3}×(10^{4})^{3}=(4×10^{4})^{3}$，
$\therefore l=4×10^{4}$（分米）
答：正方体贮水池的棱长为$4×10^{4}$分米。

9. 当$ |a + b - 1| + (a - b - 3)^{2} = 0 $时,化简求值：$ 3a^{2}(a^{3}b^{2} - 2a) - 4a(-a^{2}b)^{2} $。

-80

由|a + b - 1| + (a - b - 3)² = 0，得：
$\begin{cases}a + b - 1 = 0 \\a - b - 3 = 0\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = 2 \\b = -1\end{cases}$
化简原式：
$\begin{aligned}&3a^{2}(a^{3}b^{2} - 2a) - 4a(-a^{2}b)^{2}\\=&3a^{2}\cdot a^{3}b^{2} - 3a^{2}\cdot 2a - 4a\cdot (a^{4}b^{2})\\=&3a^{5}b^{2} - 6a^{3} - 4a^{5}b^{2}\\=&-a^{5}b^{2} - 6a^{3}\end{aligned}$
代入a=2，b=-1：
$\begin{aligned}&- (2^{5})×(-1)^{2} - 6×(2^{3})\\=&-32×1 - 6×8\\=&-32 - 48\\=&-80\end{aligned}$