例1 如图15.3 - 14,在Rt△ABC中,∠C = 90°,∠BAC = 60°,∠BAC的平分线AM长为15 cm,求BC的长。

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，
∴∠B=180°-∠C-∠BAC=30°。
∵AM平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠CAM=∠BAM=30°。
在Rt△ACM中，∠C=90°，∠CAM=30°，AM=15cm，
∴CM=1/2AM=7.5cm。
∵∠BAM=∠B=30°，
∴BM=AM=15cm。
∴BC=CM+BM=7.5+15=22.5cm。
答：BC的长为22.5cm。

例2 如图15.3 - 15,在等边△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E,且CE = 1,求AB的长。

AB的长为4。

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠C=60°。
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，且BD⊥AC（三线合一），
∴AD=DC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BC。
∵DE⊥BC，∠C=60°，
∴∠CDE=30°，
∴EC=$\frac{1}{2}$DC（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
∵CE=1，
∴DC=2EC=2×1=2，
∴BC=2DC=2×2=4，
∴AB=BC=4。

例3 如图15.3 - 16,已知在△ABC中,BD是AC边上的中线,DB⊥BC于B,∠ABC = 120°,求证：AB = 2BC。

证明：过A作AE//BC交BD的延长线于E。
∵DB⊥BC，
∴∠AED=∠CBD=90°（两直线平行，内错角相等）。
在△ADE和△CDB中，
$\left\{ \begin{array}{l} \angle AED = \angle CBD \\ \angle ADE = \angle CDB \\ AD = CD \end{array} \right.$
∴△ADE≌△CDB（AAS），
∴AE=BC。
∵∠ABC=120°，∠CBD=90°，
∴∠ABD=∠ABC - ∠CBD=30°。
在Rt△ABE中，∠ABD=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∵AE=BC，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，即AB=2BC。