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先
设出函数表达式
,再根据所给条件确定表达式中未知的系数,从而得到函数表达式的方法,叫作待定系数法。答案
设出函数表达式
1. 如图,一次函数的图象经过点 A,且与正比例函数 $ y = - x $ 的图象交于点 B,则该一次函数的表达式为(
A.$ y = - x + 2 $
B.$ y = x + 2 $
C.$ y = x - 2 $
D.$ y = - x - 2 $
B
)。A.$ y = - x + 2 $
B.$ y = x + 2 $
C.$ y = x - 2 $
D.$ y = - x - 2 $
答案
B
解析
解：设一次函数表达式为$y=kx+b$。
由图可知，点$A$坐标为$(0,2)$，代入得$b=2$。
点$B$在$y=-x$上，且横坐标为$-1$，则$y=-(-1)=1$，即$B(-1,1)$。
将$B(-1,1)$代入$y=kx+2$，得$-k+2=1$，解得$k=1$。
故一次函数表达式为$y=x+2$。
答案：B
由图可知，点$A$坐标为$(0,2)$，代入得$b=2$。
点$B$在$y=-x$上，且横坐标为$-1$，则$y=-(-1)=1$，即$B(-1,1)$。
将$B(-1,1)$代入$y=kx+2$，得$-k+2=1$，解得$k=1$。
故一次函数表达式为$y=x+2$。
答案：B
2. 在弹性限度内,弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比。某弹簧不挂物体时长 15 cm,当所挂物体的质量为 3 kg 时,弹簧长 16.8 cm,则弹簧长度 $ y $(cm)与所挂物体的质量 $ x $(kg)之间的函数表达式为(
A.$ y = - 0.6x + 15 $
B.$ y = - 0.6x - 15 $
C.$ y = 0.6x + 15 $
D.$ y = 0.6x - 15 $
C
)。A.$ y = - 0.6x + 15 $
B.$ y = - 0.6x - 15 $
C.$ y = 0.6x + 15 $
D.$ y = 0.6x - 15 $
答案
C
解析
设弹簧长度$y$（cm）与所挂物体的质量$x$（kg）之间的函数表达式为$y=kx+b$。
因为弹簧不挂物体时长$15$cm，即当$x=0$时，$y=15$，代入得$15=k×0 + b$，解得$b=15$。
又因为当所挂物体的质量为$3$kg时，弹簧长$16.8$cm，即当$x=3$时，$y=16.8$，代入$y=kx + 15$得$16.8=3k + 15$，解得$k=0.6$。
所以函数表达式为$y=0.6x + 15$。
C
因为弹簧不挂物体时长$15$cm，即当$x=0$时，$y=15$，代入得$15=k×0 + b$，解得$b=15$。
又因为当所挂物体的质量为$3$kg时，弹簧长$16.8$cm，即当$x=3$时，$y=16.8$，代入$y=kx + 15$得$16.8=3k + 15$，解得$k=0.6$。
所以函数表达式为$y=0.6x + 15$。
C
3. 设一次函数 $ y = kx + b $ 的图象经过点 $ A(2, - 1) $ 和点 B,其中点 B 是直线 $ y = - \frac{1}{2}x + 3 $ 与 y 轴的交点,则这个函数的表达式为
y=-2x+3
。答案
y=-2x+3
解析
因为点B是直线$ y = -\frac{1}{2}x + 3 $与y轴的交点，所以令$ x=0 $，得$ y=3 $，即点B的坐标为$ (0,3) $。
因为一次函数$ y = kx + b $的图象经过点$ A(2,-1) $和点$ B(0,3) $，所以将点$ B(0,3) $代入$ y = kx + b $，得$ b=3 $。
将点$ A(2,-1) $和$ b=3 $代入$ y = kx + b $，得$ -1 = 2k + 3 $，解得$ k=-2 $。
所以这个函数的表达式为$ y=-2x + 3 $。
因为一次函数$ y = kx + b $的图象经过点$ A(2,-1) $和点$ B(0,3) $，所以将点$ B(0,3) $代入$ y = kx + b $，得$ b=3 $。
将点$ A(2,-1) $和$ b=3 $代入$ y = kx + b $，得$ -1 = 2k + 3 $，解得$ k=-2 $。
所以这个函数的表达式为$ y=-2x + 3 $。
4. 已知一次函数 $ y = 2x + b $ 的图象经过点 $ (a, 5) $ 和 $ (2, a) $,则这个函数的表达式为
y=2x-1
。答案
y=2x-1
解析
因为一次函数$y = 2x + b$的图象经过点$(a, 5)$和$(2, a)$，所以将点代入函数可得：
$5 = 2a + b$，$a = 2×2 + b$，即$a = 4 + b$。
将$a = 4 + b$代入$5 = 2a + b$，得$5 = 2(4 + b) + b$，
$5 = 8 + 2b + b$，
$5 - 8 = 3b$，
$-3 = 3b$，
$b = -1$。
所以函数表达式为$y = 2x - 1$。
$5 = 2a + b$，$a = 2×2 + b$，即$a = 4 + b$。
将$a = 4 + b$代入$5 = 2a + b$，得$5 = 2(4 + b) + b$，
$5 = 8 + 2b + b$，
$5 - 8 = 3b$，
$-3 = 3b$，
$b = -1$。
所以函数表达式为$y = 2x - 1$。
5. 直线 $ y = - x $ 与 $ y = 3x + 1 $ 的交点坐标是(
-$\frac{1}{4}$
,$\frac{1}{4}$
)。若这一交点坐标适合方程 $ ax + y = 6 $,则 $ a = $-23
。答案
-$\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}$ -23
解析
解：联立方程$\begin{cases}y=-x \\ y=3x+1\end{cases}$
将$y=-x$代入$y=3x+1$，得$-x=3x+1$
$-4x=1$
$x=-\frac{1}{4}$
则$y=-(-\frac{1}{4})=\frac{1}{4}$
交点坐标为$(-\frac{1}{4},\frac{1}{4})$
将$(-\frac{1}{4},\frac{1}{4})$代入$ax + y = 6$，得$-\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}=6$
$-\frac{1}{4}a=6 - \frac{1}{4}$
$-\frac{1}{4}a=\frac{23}{4}$
$a=-23$
$-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$，$-23$
将$y=-x$代入$y=3x+1$，得$-x=3x+1$
$-4x=1$
$x=-\frac{1}{4}$
则$y=-(-\frac{1}{4})=\frac{1}{4}$
交点坐标为$(-\frac{1}{4},\frac{1}{4})$
将$(-\frac{1}{4},\frac{1}{4})$代入$ax + y = 6$，得$-\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}=6$
$-\frac{1}{4}a=6 - \frac{1}{4}$
$-\frac{1}{4}a=\frac{23}{4}$
$a=-23$
$-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$，$-23$
6. 某景区推出了甲、乙两种消费卡,设参观次数为 $ x $,所需费用为 $ y $ 元,选择这两种卡消费时,$ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系如图所示,解答下列问题：
(1) 分别求出选择这两种卡消费时,$ y_{甲} $,$ y_{乙} $ 关于 $ x $ 的函数表达式；
(2) 当参观多少次时,甲、乙两种消费卡的费用相同？
(1) 分别求出选择这两种卡消费时,$ y_{甲} $,$ y_{乙} $ 关于 $ x $ 的函数表达式；
(2) 当参观多少次时,甲、乙两种消费卡的费用相同？
答案
解:
(1)设$y_{甲}=kx$,则5k=150,解得k=30,所以$y_{甲}=30x$。设$y_{乙}=mx+n$,则有$\left\{\begin{array}{l} n=100,\\ 20m+n=500,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} m=20,\\ n=100,\end{array}\right.$所以$y_{乙}=20x+100$。
(2)甲、乙两种消费卡的费用相同时,有$y_{甲}=y_{乙}$,即30x=20x+100,解得x=10,所以当参观10次时,甲、乙两种消费卡的费用相同。
(1)设$y_{甲}=kx$,则5k=150,解得k=30,所以$y_{甲}=30x$。设$y_{乙}=mx+n$,则有$\left\{\begin{array}{l} n=100,\\ 20m+n=500,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} m=20,\\ n=100,\end{array}\right.$所以$y_{乙}=20x+100$。
(2)甲、乙两种消费卡的费用相同时,有$y_{甲}=y_{乙}$,即30x=20x+100,解得x=10,所以当参观10次时,甲、乙两种消费卡的费用相同。
