24. (14 分)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,已知点 $ D $ 在线段 $ AB $ 的反向延长线上,过 $ AC $ 的中点 $ F $ 作线段 $ GE $ 交 $ \angle DAC $ 的平分线于点 $ E $,交 $ BC $ 于点 $ G $,且 $ AE // BC $.
(1)求证：$ \triangle ABC $ 是等腰三角形.
(2)若 $ AE = 8 $,$ GC = 2BG $,求 $ BC $ 长.

(1)见解析；(2)12．

(1)证明：
∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠CAE（角平分线定义）．
∵AE//BC，∴∠DAE=∠B（两直线平行，同位角相等），∠CAE=∠C（两直线平行，内错角相等）．
∴∠B=∠C（等量代换）．
∴AB=AC（等角对等边），即△ABC是等腰三角形．
(2)解：
∵F是AC中点，∴AF=FC（中点定义）．
∵AE//BC，∴∠E=∠G（两直线平行，内错角相等），∠FAE=∠FCG（两直线平行，内错角相等）．
在△AFE和△CFG中，
∠E=∠G，
∠FAE=∠FCG，
AF=FC，
∴△AFE≌△CFG（AAS）．
∴AE=GC（全等三角形对应边相等）．
∵AE=8，∴GC=8．
∵GC=2BG，∴BG=GC/2=8/2=4．
∴BC=BG+GC=4+8=12．