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【知识点】三角形的外角概念及与其不相邻内角的关系
◎三角形的一边与
◎三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的
◎三角形的一边与
另一边的延长线
组成的角，叫作三角形的外角。◎三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的
和
。答案
1. 另一边的延长线
2. 和
2. 和
解析
【分析】
本题是对三角形外角相关基础概念与性质的识记类考查，解题时只需回忆教材中对应的定义、性质内容即可作答。第一个空对应三角形外角的定义，第二个空对应三角形外角的核心性质，直接匹配记忆内容就能得到答案。
【解析】
1. 根据三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角，因此第一个空填“另一边的延长线”。
2. 根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，因此第二个空填“和”。
【答案】
1. 另一边的延长线
2. 和
【知识点】
三角形外角的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，是三角形外角相关知识的入门内容，熟练掌握该知识点是后续解决涉及外角的角度计算、几何证明类题目的前提。
【难度系数】
0.9
本题是对三角形外角相关基础概念与性质的识记类考查，解题时只需回忆教材中对应的定义、性质内容即可作答。第一个空对应三角形外角的定义，第二个空对应三角形外角的核心性质，直接匹配记忆内容就能得到答案。
【解析】
1. 根据三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角，因此第一个空填“另一边的延长线”。
2. 根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，因此第二个空填“和”。
【答案】
1. 另一边的延长线
2. 和
【知识点】
三角形外角的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，是三角形外角相关知识的入门内容，熟练掌握该知识点是后续解决涉及外角的角度计算、几何证明类题目的前提。
【难度系数】
0.9
1. 下列图中∠1是三角形一个外角的是（
A
B
D
D
）A
B
D
答案
1. D
解析
【分析】
解题首先要明确三角形外角的定义，按照定义的三个特征逐一判断每个选项即可：三角形外角需满足三个特征：①顶点是三角形的一个顶点；②一条边是三角形的一条边；③另一条边是三角形某条边的延长线。我们依据这三个特征逐个排查选项就能得到正确答案。
【解析】
首先明确三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。
对各选项逐一分析：
选项A：∠1的顶点不在三角形的顶点上，不满足外角的特征，不符合要求；
选项B：∠1的一条边不是三角形边的延长线，不满足外角的特征，不符合要求；
选项C：∠1的一条边不是三角形边的延长线，不满足外角的特征，不符合要求；
选项D：∠1的顶点在三角形的顶点上，一条边是三角形的边，另一条边是三角形另一边的延长线，完全符合三角形外角的定义。
【答案】
D
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，只要准确牢记三角形外角的定义，就能快速判断出正确结果。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确三角形外角的定义，按照定义的三个特征逐一判断每个选项即可：三角形外角需满足三个特征：①顶点是三角形的一个顶点；②一条边是三角形的一条边；③另一条边是三角形某条边的延长线。我们依据这三个特征逐个排查选项就能得到正确答案。
【解析】
首先明确三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。
对各选项逐一分析：
选项A：∠1的顶点不在三角形的顶点上，不满足外角的特征，不符合要求；
选项B：∠1的一条边不是三角形边的延长线，不满足外角的特征，不符合要求；
选项C：∠1的一条边不是三角形边的延长线，不满足外角的特征，不符合要求；
选项D：∠1的顶点在三角形的顶点上，一条边是三角形的边，另一条边是三角形另一边的延长线，完全符合三角形外角的定义。
【答案】
D
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，只要准确牢记三角形外角的定义，就能快速判断出正确结果。
【难度系数】
0.9
2. 如图13.3-9，若$∠ B=35°$，$∠ ACD=120°$，则$∠ A$的度数为（
A.$35°$
B.$75°$
C.$85°$
D.$95°$
图13.3-9
C
）A.$35°$
B.$75°$
C.$85°$
D.$95°$
图13.3-9
答案
2. C
解析
【分析】
本题可根据三角形外角的性质求解。首先判断∠ACD是△ABC的外角，回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，已知外角∠ACD和其中一个不相邻的内角∠B，将数值代入公式变形即可求出∠A的度数。
【解析】
∵∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质可得：
$∠ ACD = ∠ A + ∠ B$
∴$∠ A = ∠ ACD - ∠ B$
将$∠ B=35°$，$∠ ACD=120°$代入得：
$∠ A=120° - 35° = 85°$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的性质、角度的和差计算
【点评】
本题是对三角形外角性质的基础应用考查，解题的关键是准确识别三角形的外角，牢记外角与不相邻内角的数量关系，难度较低。
【难度系数】
0.85
本题可根据三角形外角的性质求解。首先判断∠ACD是△ABC的外角，回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，已知外角∠ACD和其中一个不相邻的内角∠B，将数值代入公式变形即可求出∠A的度数。
【解析】
∵∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质可得：
$∠ ACD = ∠ A + ∠ B$
∴$∠ A = ∠ ACD - ∠ B$
将$∠ B=35°$，$∠ ACD=120°$代入得：
$∠ A=120° - 35° = 85°$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的性质、角度的和差计算
【点评】
本题是对三角形外角性质的基础应用考查，解题的关键是准确识别三角形的外角，牢记外角与不相邻内角的数量关系，难度较低。
【难度系数】
0.85
3. 如果将一副三角板按如图13.3-10的方式叠放，则∠1的度数为（
A.$105°$
B.$120°$
C.$75°$
D.$45°$
A
）A.$105°$
B.$120°$
C.$75°$
D.$45°$
答案
3. A
解析
【分析】
解题时首先要明确一副三角板的固定角度：等腰直角三角板的两个锐角均为45°，另一个直角三角板的两个锐角分别为30°、60°，所有直角都是90°。要求∠1的度数，我们可以利用三角形外角的性质求解：先找到与∠1相关的三角形的两个不相邻内角的度数，再代入外角性质公式计算即可。第一步先计算下方直角被分割后得到的锐角大小，第二步结合外角性质求∠1。
【解析】
解：由三角板的角度特征可得：
下方的直角被等腰直角三角板的斜边分成两个角，其中一个角为45°，则另一个角为 $ 90° - 45° = 45° $。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，∠1是包含45°和60°两个内角的三角形的外角，因此：
$ ∠ 1 = 45° + 60° = 105° $
【答案】
A
【知识点】
三角板的角度特征；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是熟练掌握三角板的各角度数，灵活运用三角形外角的性质简化计算，避免复杂的角度推导。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确一副三角板的固定角度：等腰直角三角板的两个锐角均为45°，另一个直角三角板的两个锐角分别为30°、60°，所有直角都是90°。要求∠1的度数，我们可以利用三角形外角的性质求解：先找到与∠1相关的三角形的两个不相邻内角的度数，再代入外角性质公式计算即可。第一步先计算下方直角被分割后得到的锐角大小，第二步结合外角性质求∠1。
【解析】
解：由三角板的角度特征可得：
下方的直角被等腰直角三角板的斜边分成两个角，其中一个角为45°，则另一个角为 $ 90° - 45° = 45° $。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，∠1是包含45°和60°两个内角的三角形的外角，因此：
$ ∠ 1 = 45° + 60° = 105° $
【答案】
A
【知识点】
三角板的角度特征；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是熟练掌握三角板的各角度数，灵活运用三角形外角的性质简化计算，避免复杂的角度推导。
【难度系数】
0.8
【例1】如图13.3-11，在$△ ABC$中，$∠1=∠2=36°$，$∠3=∠4$，求$∠ DAC$的度数.
【点拨】观察图中$∠1$，$∠2$和$∠3$的位置，可知先利用内外角关系求$∠3$，$∠4$，再利用三角形内角和求解.
图13.3-11
【点拨】观察图中$∠1$，$∠2$和$∠3$的位置，可知先利用内外角关系求$∠3$，$∠4$，再利用三角形内角和求解.
图13.3-11
答案
解：
∵∠1=∠2=36°，
∴∠3=∠4=∠1+∠2=72°. 在△ACD中，∠DAC=180°-(∠3+∠4)=180°-2×72°=36°.
∴∠DAC=36°.
∵∠1=∠2=36°，
∴∠3=∠4=∠1+∠2=72°. 在△ACD中，∠DAC=180°-(∠3+∠4)=180°-2×72°=36°.
∴∠DAC=36°.
解析
【分析】
首先观察图形，∠3是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，可先由已知的∠1和∠2的度数求出∠3的度数；再结合∠3=∠4得到∠4的度数，最后利用三角形内角和为180°，在△ACD中计算即可求出∠DAC的度数。
【解析】
∵∠1=∠2=36°，∠3是△ABD的外角，
∴∠3=∠1+∠2=36°+36°=72°，
又
∵∠3=∠4，
∴∠4=72°，
在△ACD中，根据三角形内角和为180°可得：
∠DAC=180°-(∠3+∠4)=180°-(72°+72°)=36°
【答案】
36°
【知识点】
三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是准确识别三角形的外角，灵活运用三角形外角性质和内角和定理进行角度计算，掌握相关性质即可轻松求解此类角度计算问题。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，∠3是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，可先由已知的∠1和∠2的度数求出∠3的度数；再结合∠3=∠4得到∠4的度数，最后利用三角形内角和为180°，在△ACD中计算即可求出∠DAC的度数。
【解析】
∵∠1=∠2=36°，∠3是△ABD的外角，
∴∠3=∠1+∠2=36°+36°=72°，
又
∵∠3=∠4，
∴∠4=72°，
在△ACD中，根据三角形内角和为180°可得：
∠DAC=180°-(∠3+∠4)=180°-(72°+72°)=36°
【答案】
36°
【知识点】
三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是准确识别三角形的外角，灵活运用三角形外角性质和内角和定理进行角度计算，掌握相关性质即可轻松求解此类角度计算问题。
【难度系数】
0.8
