8. 点 $ M(x_1,y_1) $ 和点 $ N(x_2,y_2) $ 都在反比例函数 $ y = \dfrac{k^2 + 1}{x} $($ k $ 为常数)的图象上，若 $ x_1 ＜ 0 ＜ x_2 $，则 $ y_1 $，$ y_2 $，0 的大小关系为()
A.$ y_1 ＜ y_2 ＜ 0 $
B.$ y_1 ＞ y_2 ＞ 0 $
C.$ y_1 ＜ 0 ＜ y_2 $
D.$ y_1 ＞ 0 ＞ y_2 $

C

因为$k^2≥0$，所以$k^2 + 1≥1$，即反比例函数$y = \dfrac{k^2 + 1}{x}$的比例系数为正数。该函数图象在第一、三象限，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。
点$M(x_1,y_1)$中$x_1＜0$，所以$M$在第三象限，$y_1＜0$；点$N(x_2,y_2)$中$x_2＞0$，所以$N$在第一象限，$y_2＞0$。因此$y_1＜0＜y_2$。

9. 如图，反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x}(x ＜ 0) $ 的图象经过 $ □ ABCO $ 的顶点 $ A $，$ OC $ 在 $ x $ 轴上。若点 $ B(-1,3) $，$ S_{□ ABCO} = 3 $，则 $ k $ 的值为。

$k = -6$（由于题目要求格式，此处应理解为填写$k$的值，即$-6$）。

设点 $A$ 的坐标为 $A(x_1, y_1)$，且 $x_1 ＜ 0$。
因为点 $B(-1, 3)$，且四边形 $ABCO$ 是平行四边形，所以点 $A$ 和点 $B$ 的纵坐标相同，即 $y_1 = 3$。
设 $C$ 点的坐标为 $C(a, 0)$，因为 $OC$ 在 $x$ 轴上，且 $S_{// ABCO} = 3$，平行四边形的面积 $S = \mathrm{底} × \mathrm{高}$，这里底为 $OC$，高为 $3$。
所以 $S = |a| × 3 = 3$，解得 $|a| = 1$，因为 $a ＞ 0$，所以 $a = 1$，即 $C(1, 0)$。
因为 $A$ 和 $C$ 的横坐标相差为平行四边形的边长，且 $B$ 的横坐标为 $-1$，所以 $A$ 的横坐标为 $x_1 = -1 - 1 = -2$（因为 $A$ 和 $B$ 的横坐标相差为平行四边形的另一边长，且 $A$ 在 $B$ 的左侧）。
所以点 $A$ 的坐标为 $A(-2, 3)$。
将点 $A(-2, 3)$ 代入反比例函数 $y = \frac{k}{x}$，得到：
$3 = \frac{k}{-2}$
解得 $k = -6$。

10. (2025 陕西中考)如图，过原点的直线与反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x}(k ＞ 0) $ 的图象交于 $ A(m,n) $，$ B(m - 6,n - 6) $ 两点，则 $ k $ 的值为。

9

因为点$A(m,n)$，$B(m - 6,n - 6)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$上，所以$k = mn$，$k=(m - 6)(n - 6)$，故$mn=(m - 6)(n - 6)$。又因为直线过原点，设直线解析式为$y = ax$，则$n = am$，$n - 6 = a(m - 6)$，联立得$am - 6 = a(m - 6)$，解得$a = 1$，所以$n = m$。将$n = m$代入$mn=(m - 6)(n - 6)$，得$m^2=(m - 6)^2$，解得$m = 3$，则$n = 3$，所以$k = mn = 3×3 = 9$。

11. (武汉中考)已知点 $ A(a,y_1) $，$ B(a + 1,y_2) $ 均在反比例函数 $ y = \dfrac{m^2 + 1}{x} $（$ m $ 是常数）的图象上，且 $ y_1 ＜ y_2 $，求 $ a $ 的取值范围。

$-1 ＜ a ＜ 0$

∵反比例函数$y=\dfrac{m^2 + 1}{x}$中，$k=m^2 + 1＞0$，∴图象在第一、三象限，在各象限内$y$随$x$增大而减小。
点$A(a,y_1)$，$B(a + 1,y_2)$在图象上，且$y_1 ＜ y_2$。
∵$k＞0$，若$A$，$B$在同一象限，则$x$增大时$y$减小，即$y_1 ＞ y_2$，与$y_1 ＜ y_2$矛盾，故$A$，$B$在不同象限。
$A$在第三象限（$x＜0$），$B$在第一象限（$x＞0$），则$\begin{cases}a＜0\\a + 1＞0\end{cases}$，解得$-1 ＜ a ＜ 0$。

12. (2025 泸州中考改编)如图，一次函数 $ y_1 = 2x + b $ 的图象与反比例函数 $ y_2 = \dfrac{m}{x} $ 的图象的一个交点为 $ A(2,6) $。
(1) 填空：$ b = $，$ m = $；
(2) 根据图象，直接写出 $ y_1 ＞ y_2 $ 时，$ x $ 的取值范围；
(3) 将一次函数 $ y_1 = 2x + b $ 的图象沿 $ y $ 轴向下平移 12 个单位长度，与反比例函数 $ y_2 = \dfrac{m}{x} $ 的图象相交于点 $ B $，$ C $，求 $ S_{△ ABC} $ 的值。

(1) 2，12；
(2) -3 ＜ x ＜ 0 或 x ＞ 2；
(3) 42

(1) 将点 $ A(2,6) $ 代入 $ y_1 = 2x + b $，得 $ 6 = 2×2 + b $，解得 $ b = 2 $；代入 $ y_2 = \frac{m}{x} $，得 $ 6 = \frac{m}{2} $，解得 $ m = 12 $。
(2) 联立 $ y_1 = 2x + 2 $ 与 $ y_2 = \frac{12}{x} $，解得交点为 $ (2,6) $ 和 $ (-3,-4) $。由图像可知，$ y_1 ＞ y_2 $ 时，$ x $ 的取值范围为 $ -3 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 2 $。
(3) 平移后一次函数为 $ y = 2x - 10 $，联立 $ y = 2x - 10 $ 与 $ y = \frac{12}{x} $，解得 $ B(6,2) $，$ C(-1,-12) $。利用坐标求面积：$ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} |2×(2 - (-12)) + 6×(-12 - 6) + (-1)×(6 - 2)| = \frac{1}{2} |28 - 108 - 4| = 42 $。