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12.(8分)某商场销售一批名牌衬衫,该衬衫每件进价为300元,若每件售价为420元,则平均每天可售出20件.经调查发现:每件衬衫每降价10元,商场平均每天可多售出1件.为了扩大销售,增加盈利,减少库存,商场决定采取适当的降价措施,设每件衬衫降价$x$元.
(1)每件衬衫的盈利为多少?
(2)用含$x$的代数式表示每天可售出的衬衫件数.
(3)若商场每天要盈利1 920元,请你帮助商场算一算:每件衬衫应降价多少元?
(4)这次降价活动中,1 920元是最高日盈利额吗?若是,请说明理由;若不是,试求最高日盈利额.
(1)每件衬衫的盈利为多少?
(2)用含$x$的代数式表示每天可售出的衬衫件数.
(3)若商场每天要盈利1 920元,请你帮助商场算一算:每件衬衫应降价多少元?
(4)这次降价活动中,1 920元是最高日盈利额吗?若是,请说明理由;若不是,试求最高日盈利额.
答案
(1) 每件衬衫的盈利为售价减去进价，即$(420 - x - 300) = (120 - x)$元。
(2) 每降价10元多售出1件，降价$x$元多售出$\frac{x}{10}$件，故每天售出件数为$20 + \frac{x}{10}$件。
(3) 总利润=每件盈利×售出件数，即$(120 - x)\left(20 + \frac{x}{10}\right) = 1920$。
整理得：$-0.1x^2 - 8x + 2400 = 1920$，即$x^2 + 80x - 4800 = 0$。
解得$x = 40$（$x = -120$舍去），故每件衬衫应降价40元。
(4) 总利润$y = (120 - x)\left(20 + \frac{x}{10}\right) = -0.1x^2 - 8x + 2400$，$a = -0.1 ＜ 0$，抛物线开口向下。对称轴$x = -\frac{b}{2a} = -40$，当$x \geq 0$时，$y$随$x$增大而减小，故$x = 0$时，$y_{ max} = 2400$元。
因此，1920元不是最高日盈利额，最高日盈利额为2400元。
(1) $(120 - x)$元
(2) $\left(20 + \frac{x}{10}\right)$件
(3) 40元
(4) 不是，2400元
(2) 每降价10元多售出1件，降价$x$元多售出$\frac{x}{10}$件，故每天售出件数为$20 + \frac{x}{10}$件。
(3) 总利润=每件盈利×售出件数，即$(120 - x)\left(20 + \frac{x}{10}\right) = 1920$。
整理得：$-0.1x^2 - 8x + 2400 = 1920$，即$x^2 + 80x - 4800 = 0$。
解得$x = 40$（$x = -120$舍去），故每件衬衫应降价40元。
(4) 总利润$y = (120 - x)\left(20 + \frac{x}{10}\right) = -0.1x^2 - 8x + 2400$，$a = -0.1 ＜ 0$，抛物线开口向下。对称轴$x = -\frac{b}{2a} = -40$，当$x \geq 0$时，$y$随$x$增大而减小，故$x = 0$时，$y_{ max} = 2400$元。
因此，1920元不是最高日盈利额，最高日盈利额为2400元。
(1) $(120 - x)$元
(2) $\left(20 + \frac{x}{10}\right)$件
(3) 40元
(4) 不是，2400元
13.(8分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y = \frac{1}{6}x^2 + bx + c$经过原点$O$,与$x$轴交于点$A(5,0)$,第一象限内的点$C(m,4)$在抛物线上,$y$轴上有一点$B(0,10)$.
(1)求抛物线的解析式及它的对称轴.
(2)点$P(0,n)$在线段$OB$上,点$Q$在线段$BC$上,若$OP = 2BQ$,且$PA = QA$,求$n$的值.
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点$M$,使以$A$,$B$,$M$为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点$M$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的解析式及它的对称轴.
(2)点$P(0,n)$在线段$OB$上,点$Q$在线段$BC$上,若$OP = 2BQ$,且$PA = QA$,求$n$的值.
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点$M$,使以$A$,$B$,$M$为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点$M$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1) 抛物线$ y = \frac{1}{6}x^2 + bx + c $经过原点$ O(0,0) $和$ A(5,0) $。将$ (0,0) $代入得$ c=0 $；将$ (5,0) $代入$ y = \frac{1}{6}x^2 + bx $，得$ 0 = \frac{25}{6} + 5b $，解得$ b = -\frac{5}{6} $。故抛物线解析式为$ y = \frac{1}{6}x^2 - \frac{5}{6}x $。对称轴为$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-\frac{5}{6}}{2 × \frac{1}{6}} = \frac{5}{2} $。
(2) 点$ C(m,4) $在抛物线上，代入解析式得$ 4 = \frac{1}{6}m^2 - \frac{5}{6}m $，解得$ m=8 $（$ m=-3 $舍去），故$ C(8,4) $。$ B(0,10) $，线段$ BC $解析式为$ y = -\frac{3}{4}x + 10 $（$ 0 \leq x \leq 8 $）。设$ Q(x,y) $，$ OP = n $，则$ BQ = \frac{n}{2} $。由$ BC = 10 $，得$ Q $坐标为$ \left( \frac{2n}{5}, 10 - \frac{3n}{10} \right) $。$ PA = QA $，即$ \sqrt{5^2 + n^2} = \sqrt{\left(5 - \frac{2n}{5}\right)^2 + \left(10 - \frac{3n}{10}\right)^2} $，解得$ n = \frac{20}{3} $。
(3) 对称轴上$ M\left( \frac{5}{2}, t \right) $，$ A(5,0) $，$ B(0,10) $。
$ AB = AM $：$ 125 = \left(5 - \frac{5}{2}\right)^2 + t^2 $，解得$ t = \pm \frac{5\sqrt{19}}{2} $，$ M\left( \frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{19}}{2} \right) $或$ \left( \frac{5}{2}, -\frac{5\sqrt{19}}{2} \right) $；
$ AB = BM $：$ 125 = \left( \frac{5}{2} \right)^2 + (t - 10)^2 $，解得$ t = 10 \pm \frac{5\sqrt{19}}{2} $，$ M\left( \frac{5}{2}, 10 + \frac{5\sqrt{19}}{2} \right) $或$ \left( \frac{5}{2}, 10 - \frac{5\sqrt{19}}{2} \right) $；
$ AM = BM $时，$ M $在直线$ AB $上，三点共线，舍去。
综上，存在点$ M $，坐标为$ \left( \frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{19}}{2} \right) $，$ \left( \frac{5}{2}, -\frac{5\sqrt{19}}{2} \right) $，$ \left( \frac{5}{2}, 10 + \frac{5\sqrt{19}}{2} \right) $，$ \left( \frac{5}{2}, 10 - \frac{5\sqrt{19}}{2} \right) $。
答案
(1) 解析式：$ y = \frac{1}{6}x^2 - \frac{5}{6}x $，对称轴：$ x = \frac{5}{2} $；
(2) $ n = \frac{20}{3} $；
(3) 存在，$ M \left( \frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{19}}{2} \right) $，$ \left( \frac{5}{2}, -\frac{5\sqrt{19}}{2} \right) $，$ \left( \frac{5}{2}, 10 + \frac{5\sqrt{19}}{2} \right) $，$ \left( \frac{5}{2}, 10 - \frac{5\sqrt{19}}{2} \right) $。
(2) 点$ C(m,4) $在抛物线上，代入解析式得$ 4 = \frac{1}{6}m^2 - \frac{5}{6}m $，解得$ m=8 $（$ m=-3 $舍去），故$ C(8,4) $。$ B(0,10) $，线段$ BC $解析式为$ y = -\frac{3}{4}x + 10 $（$ 0 \leq x \leq 8 $）。设$ Q(x,y) $，$ OP = n $，则$ BQ = \frac{n}{2} $。由$ BC = 10 $，得$ Q $坐标为$ \left( \frac{2n}{5}, 10 - \frac{3n}{10} \right) $。$ PA = QA $，即$ \sqrt{5^2 + n^2} = \sqrt{\left(5 - \frac{2n}{5}\right)^2 + \left(10 - \frac{3n}{10}\right)^2} $，解得$ n = \frac{20}{3} $。
(3) 对称轴上$ M\left( \frac{5}{2}, t \right) $，$ A(5,0) $，$ B(0,10) $。
$ AB = AM $：$ 125 = \left(5 - \frac{5}{2}\right)^2 + t^2 $，解得$ t = \pm \frac{5\sqrt{19}}{2} $，$ M\left( \frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{19}}{2} \right) $或$ \left( \frac{5}{2}, -\frac{5\sqrt{19}}{2} \right) $；
$ AB = BM $：$ 125 = \left( \frac{5}{2} \right)^2 + (t - 10)^2 $，解得$ t = 10 \pm \frac{5\sqrt{19}}{2} $，$ M\left( \frac{5}{2}, 10 + \frac{5\sqrt{19}}{2} \right) $或$ \left( \frac{5}{2}, 10 - \frac{5\sqrt{19}}{2} \right) $；
$ AM = BM $时，$ M $在直线$ AB $上，三点共线，舍去。
综上，存在点$ M $，坐标为$ \left( \frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{19}}{2} \right) $，$ \left( \frac{5}{2}, -\frac{5\sqrt{19}}{2} \right) $，$ \left( \frac{5}{2}, 10 + \frac{5\sqrt{19}}{2} \right) $，$ \left( \frac{5}{2}, 10 - \frac{5\sqrt{19}}{2} \right) $。
答案
(1) 解析式：$ y = \frac{1}{6}x^2 - \frac{5}{6}x $，对称轴：$ x = \frac{5}{2} $；
(2) $ n = \frac{20}{3} $；
(3) 存在，$ M \left( \frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{19}}{2} \right) $，$ \left( \frac{5}{2}, -\frac{5\sqrt{19}}{2} \right) $，$ \left( \frac{5}{2}, 10 + \frac{5\sqrt{19}}{2} \right) $，$ \left( \frac{5}{2}, 10 - \frac{5\sqrt{19}}{2} \right) $。
