13.(8分)如图,已知$\triangle ABC$,$AB = AC$,$AD$是$\triangle ABC$的角平分线,$EF$垂直平分$AC$,分别交$AC$,$AD$,$AB$于点$E,M,F$,$AM = CM$.若$\angle CAD = 20^{\circ}$,求$\angle MCD$的度数.

50°

∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∠BAC=2∠CAD=40°。
∴∠ACB=(180°-∠BAC)/2=(180°-40°)/2=70°。
∵EF垂直平分AC，M在EF上，∴MA=MC（垂直平分线性质）。
∴∠MCA=∠MAC=∠CAD=20°。
∵AD是△ABC的角平分线，AB=AC，∴D为BC中点，∠ACD=∠ACB=70°。
∵∠ACD=∠MCA+∠MCD，∴∠MCD=∠ACD-∠MCA=70°-20°=50°。

14.(8分)如图,在$\triangle ABC$中,$AD$平分$\angle BAC$,$P$为线段$AD$上的一个动点,$PE\perp AD$,交直线$BC$于点$E$.
(1) 若$\angle B = 35^{\circ}$,$\angle ACB = 85^{\circ}$,求$\angle E$的度数.
(2) 当点$P$在线段$AD$上运动时,猜想$\angle E$与$\angle B$,$\angle ACB$的数量关系,并证明你的结论.

(1) 25°；(2) ∠E=(∠ACB-∠B)/2．

(1) 在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-35°-85°=60°．
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC/2=30°．
∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=35°+30°=65°．
∵PE⊥AD，∴∠EPD=90°．
在Rt△EPD中，∠E+∠ADC=90°，∴∠E=90°-65°=25°．
(2) 猜想：∠E=(∠ACB-∠B)/2．
证明：设∠B=β，∠ACB=γ．
在△ABC中，∠BAC=180°-β-γ．
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=(180°-β-γ)/2．
∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=β+(180°-β-γ)/2=(180°+β-γ)/2．
∵PE⊥AD，∴∠EPD=90°．
在Rt△EPD中，∠E+∠ADC=90°，∴∠E=90°-∠ADC=90°-(180°+β-γ)/2=(γ-β)/2．
即∠E=(∠ACB-∠B)/2．