11.(7 分)图中的小方格都是边长为 1 的正方形,$\triangle ABC$的顶点和点$O$都在正方形的顶点上.
(1)以点$O$为位似中心,在方格图中将$\triangle ABC$放大为原来的 2 倍,得到$\triangle A^\prime B^\prime C^\prime$.
(2)$\triangle A^\prime B^\prime C^\prime$绕点$B^\prime$顺时针旋转$90°$,画出旋转后得到的$\triangle A^{\prime\prime}B^\prime C^{\prime\prime}$,并求边$A^\prime B^\prime$在旋转过程中扫过的图形面积.

扫过的图形面积为 $5\pi$。

(1) 以点 $O$ 为位似中心，将 $\triangle ABC$ 放大为原来的 2 倍：
$\triangle A^\prime B^\prime C^\prime$ 的顶点坐标：
$A^\prime(4, 2)$，
$B^\prime(0, 0)$，
$C^\prime(2, 0)$。
(在方格图中标出这些点并连接成三角形)
(2) 将 $\triangle A^\prime B^\prime C^\prime$ 绕点 $B^\prime$ 顺时针旋转 $90°$：
$\triangle A^{\prime\prime}B^\prime C^{\prime\prime}$ 的顶点坐标：
$A^{\prime\prime}(4, -2)$，
$B^\prime(0, 0)$，
$C^{\prime\prime}(0, 2)$。
(在方格图中标出这些点并连接成三角形)
边 $A^\prime B^\prime$ 在旋转过程中扫过的图形面积：
边 $A^\prime B^\prime$ 的长度：
$|A^\prime B^\prime| = \sqrt{(4-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$，
扫过的图形为扇形，面积公式：
$ 面积 = \frac{1}{4} × \pi × (2\sqrt{5})^2 = \frac{1}{4} × \pi × 20 = 5\pi$。
最终

12.(7 分)如图,在矩形$ABCD$中$,E$是$BC$的中点$,DF\perp AE$,垂足为$F$.
(1)求证:$\triangle ABE \backsim \triangle DFA$.
(2)若$AB = 6,BC = 4$,求$DF$的长.

(1)
证明：
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore\angle B = 90^{\circ}$，$AD// BC$，
$\therefore\angle DAF = \angle AEB$，
$\because DF\perp AE$，
$\therefore\angle AFD = \angle B = 90^{\circ}$，
$\therefore\triangle ABE\backsim\triangle DFA$。
(2)
由题意，$BE = \frac{1}{2}BC = 2$，
在$Rt\triangle ABE$中，
$AE = \sqrt{AB^{2} + BE^{2}} = \sqrt{6^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{10}$，
$\because\triangle ABE\backsim\triangle DFA$，
$\therefore\frac{AB}{DF} = \frac{AE}{AD}$，
$\because AD = BC = 4$，
$\therefore\frac{6}{DF} = \frac{2\sqrt{10}}{4}$，
$\therefore DF = \frac{12\sqrt{10}}{10}=\frac{6\sqrt{10}}{5}$。
综上，$DF$的长为$\frac{6\sqrt{10}}{5}$。