12.(7 分)已知整数$a$,$b$,$c$满足$\vert a - b \vert^{10} + \vert a - c \vert^{-20} = 1$,求$\vert a - b \vert + \vert b - c \vert + \vert c - a \vert$的值.

2

因为a,b,c为整数，所以|a - b|,|a - c|为非负整数，且|a - c|≠0（否则分母为0，无意义）。
已知|a - b|^10 + |a - c|^{-20} = 1，即|a - b|^10 + $\frac{1}{|a - c|^{20}}$ = 1。
由于|a - b|^10为非负整数，$\frac{1}{|a - c|^{20}}$为正分数或1，两者之和为1，故只能：
|a - b|^10 = 0，此时$\frac{1}{|a - c|^{20}} = 1$。
由|a - b|^10 = 0得|a - b| = 0，即a = b；
由$\frac{1}{|a - c|^{20}} = 1$得|a - c|^{20} = 1，故|a - c| = 1。
则|a - b| + |b - c| + |c - a| = 0 + |a - c| + |a - c| = 0 + 1 + 1 = 2。

13.(8 分)(1)已知$a = 2^{-4 444}$,$b = 3^{-3 333}$,$c = 5^{-2 222}$,请用“$＜$”把它们按从小到大的顺序连接起来,并说明理由.
(2)请探索使得等式$(2x + 3)^{x + 2 020} = 1$成立的$x$的值.

(1) $b＜c＜a$；(2) $x=-2020$，$-1$，$-2$。

(1) $a=2^{-4444}=(2^{-4})^{1111}=(\frac{1}{16})^{1111}$，$b=3^{-3333}=(3^{-3})^{1111}=(\frac{1}{27})^{1111}$，$c=5^{-2222}=(5^{-2})^{1111}=(\frac{1}{25})^{1111}$。
$\because \frac{1}{27}＜\frac{1}{25}＜\frac{1}{16}$，且指数$1111＞0$，
$\therefore (\frac{1}{27})^{1111}＜(\frac{1}{25})^{1111}＜(\frac{1}{16})^{1111}$，即$b＜c＜a$。
(2) 分三种情况：
① 底数非零，指数为0：$x+2020=0$且$2x+3\neq0$，解得$x=-2020$；
② 底数为1，指数任意：$2x+3=1$，解得$x=-1$；
③ 底数为-1，指数为偶数：$2x+3=-1$，解得$x=-2$，此时指数$x+2020=2018$（偶数）。
综上，$x=-2020$或$x=-1$或$x=-2$。

14.(8 分)【实践与探究】
在一次数学兴趣小组活动中,老师和几个同学一起探讨“在$a^n = b$中,$a$,$b$,$n$三者的关系”.
同学甲:“在$a^n = b$中,已知$a$,$n$,求$b$,这是我们学过的乘方运算,其中$b$叫作$a$的$n$次方.例如:$(-2)^3 = -8$,则$-8$是$-2$的$3$次方.”
同学乙:“在$a^n = 6$中,已知$b$,$n$,求$a$,这是我们学过的开方运算,其中$a$叫作$b$的$n$次方根.例如:$(\pm2)^2 = 4$,则$\pm2$是$4$的二次方根(即平方根);$(-2)^3 = -8$,则$-2$是$-8$的三次方根(即立方根).”
老师:“两位同学说得很好,那么请大家类比平方根、立方根的定义解答下列问题.”
(1)$81$的四次方根等于,$-32$的五次方根等于.
同学丙:“老师,在$a^n = b$中,如果已知$a$和$b$,那么如何求$n$呢? 又是一种什么运算呢?”
老师:“这个问题问得好,已知$a$,$b$,可以求$n$,它是一种新的运算,称为对数运算.这种运算的定义是:若$a^n = b$($a ＞ 0$,$a \neq 1$),则$n$叫作以$a$为底$b$的对数,记作$n = \log_a b$.例如:$2^3 = 8$,则$3$叫作以$2$为底$8$的对数,记作$\log_2 8 = 3$.”
(2)结合上面的学习,解答问题:$\log_3 27 =$,$\sqrt[3]{-64} + \log_4 \frac{1}{16} =$.
随后,老师和同学们又一起探究出对数运算的一条性质:
如果$a ＞ 0$,$a \neq 1$,$M ＞ 0$,$N ＞ 0$,那么$\log_a (M · N) = \log_a M + \log_a N$.
(3)请利用上述性质计算$\log_5 7 + \log_5 \frac{1}{7}$.

(1)
设$x$为$81$的四次方根，则$x^4 = 81$，因为$(\pm3)^4 = 81$，所以$81$的四次方根等于$\pm3$；
设$y$为$-32$的五次方根，则$y^5 = -32$，因为$(-2)^5 = -32$，所以$-32$的五次方根等于$-2$。
(2)
设$\log_3 27 = x$，根据对数定义可得$3^x = 27$，因为$3^3 = 27$，所以$\log_3 27 = 3$；
先计算$\sqrt[3]{-64}=-4$，设$\log_4 \frac{1}{16} = y$，则$4^y=\frac{1}{16}$，因为$4^{-2}=\frac{1}{16}$，所以$\log_4 \frac{1}{16} = -2$，则$\sqrt[3]{-64} + \log_4 \frac{1}{16}=-4+(-2)= -6$。
(3)
根据对数运算性质$\log_a (M· N)=\log_a M+\log_a N$，对于$\log_5 7 + \log_5 \frac{1}{7}$，这里$a = 5$，$M = 7$，$N=\frac{1}{7}$，则$\log_5 7 + \log_5 \frac{1}{7}=\log_5(7×\frac{1}{7})=\log_5 1 = 0$。
答案依次为：(1)$\pm3$；$-2$；(2)$3$；$-6$；(3)$0$。