1. (2024·靖江期末)甲、乙两家公司在 2023 年 1～8 月份期间的盈利情况统计图如图所示,下列结论不正确的是 ()


A.甲公司的盈利逐渐减少
B.乙公司的盈利在 1～4 月间逐渐增多
C.在 8 月,两家公司获得相同的盈利
D.乙公司在 9 月份的盈利一定比甲公司多

1.D

2. (2024·常州期中)小江为了估计某山区内鸟群的数量,先捕捉 40 只鸟给它们分别做上标志,然后放回,等有标志的鸟完全混合于鸟群后,第二次捕捉 120 只鸟,发现其中 4 只有标志,则该山区的鸟群数量约有只.

2.1200

设该山区的鸟群数量约有$x$只。
由题意可得：$\frac{40}{x}=\frac{4}{120}$
解得：$4x = 40×120$
$4x = 4800$
$x = 1200$
1200

3. 根据市场调查结果,预测家用商品从年初开始的第 x 个月的需求量 y(万件)近似地满足 $ y=-x^{2}+21x-5(x=1,2,···,12) $,按此预测,在本年度内,需求量最大的月份是.

3.10月，11月

$y=-x^{2}+21x-5$，二次函数开口向下，对称轴为$x=-\frac{21}{2×(-1)}=10.5$。因为$x$为整数且$1≤ x≤12$，所以当$x=10$或$x=11$时，$y$取得最大值。需求量最大的月份是10月，11月。

4. 汛期到来,山洪暴发,下表记录了某水库 20 h 内水位的变化情况,其中 x 表示时间(单位:h),y 表示水位高度(单位:m),当 $ x=8 $ 时,达到警戒水位,开始开闸放水.

(1)在给出的平面直角坐标系中,根据表格中的数据描出相应的点,并写出水位高出 16 m 的时间 x 的取值范围是;(精确到 0.1)
(2)请分别求出开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数表达式;
(3)据估计,开闸放水后,水位的这种变化规律还会持续一段时间,预测何时水位达到 6 m?

4.解:(1)在平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点，如答图所示,
　 当 $ x ＞ 8 $ 时，通过观察数据发现：$ 8 × 18 = 10 × 14.4 = 12 × 12 = 16 × 9 = 18 × 8 = 20 × 7.2 = 144 $，
$ ∴ 144 ÷ 16 = 9 $，$ ∴ $ 水位高出 $ 16 m $ 的时间 $ x $ 的取值范围是 $ 4 ＜ x ＜ 9 $。
(2)观察图像，当 $ 0 ＜ x ＜ 8 $ 时，$ y $ 与 $ x $ 可能是一次函数关系。
设 $ y = kx + b $，把 $ (0, 14) $，$ (8, 18) $ 代入，得
$ \begin{cases} b = 14, \\ 8k + b = 18, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = \dfrac{1}{2}, \\ b = 14, \end{cases} $
$ ∴ y $ 与 $ x $ 的函数表达式为 $ y = \dfrac{1}{2}x + 14 $，
经验证 $ (2, 15) $，$ (4, 16) $，$ (6, 17) $ 都满足 $ y = \dfrac{1}{2}x + 14 $，
因此放水前 $ y $ 与 $ x $ 的函数表达式为 $ y = \dfrac{1}{2}x + 14 (0 ＜ x ＜ 8) $。
观察图像，当 $ x ＞ 8 $ 时，$ y $ 与 $ x $ 就不是一次函数关系，
通过观察数据发现：$ 8 × 18 = 10 × 14.4 = 12 × 12 = 16 × 9 = 18 × 8 = 20 × 7.2 = 144 $，
因此放水后 $ y $ 与 $ x $ 的关系最符合反比例函数关系，其函数表达式为 $ y = \dfrac{144}{x} (x ＞ 8) $，
所以开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数表达式分别为 $ y = \dfrac{1}{2}x + 14 (0 ＜ x ＜ 8) $ 和 $ y = \dfrac{144}{x} (x ＞ 8) $。
(3)当 $ y = 6 $ 时，$ 6 = \dfrac{144}{x} $，解得 $ x = 24 $，因此预计 $ 24 h $ 水位达到 $ 6 m $。