9. 如图,在正六边形 $ABCDEF$ 中,$M$、$N$ 是对角线 $BE$ 上的两点,添加下列条件中的一个：①$BM = EN$；②$\angle FAN= \angle CDM$；③$AM = DN$；④$\angle AMB= \angle DNE$. 能使四边形 $AMDN$ 是平行四边形的是______.(填上所有符合要求的条件的序号)

①②④

10. 如图,在$□ ABCD$ 中,点 $O$ 为对角线 $BD$ 的中点,$EF$ 过点 $O$ 且分别交 $AB$、$DC$ 于点 $E$、$F$,连结 $DE$、$BF$. 求证：
(1)$\triangle DOF\cong\triangle BOE$；
(2)$DE = BF$.
(1) 证明 $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$O$ 是 $BD$ 的中点，
$\therefore AB// DC$，$OB=OD$，
$\therefore \angle OBE=\angle ODF$.
在 $\triangle DOF$ 和 $\triangle BOE$ 中，
$\left\{\begin{array}{l} \angle ODF=\angle OBE,\\ OD=OB,\\ \angle DOF=\angle BOE,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle DOF\cong \triangle BOE$.
(2) $\because \triangle DOF\cong \triangle BOE$，$\therefore FO=EO$.
又 $\because OB=OD$，$\therefore$ 四边形 $BEDF$ 是
，$\therefore DE=BF$.

(1) 证明 $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$O$ 是 $BD$ 的中点，
$\therefore AB// DC$，$OB=OD$，
$\therefore \angle OBE=\angle ODF$.
在 $\triangle DOF$ 和 $\triangle BOE$ 中，
$\left\{\begin{array}{l} \angle ODF=\angle OBE,\\ OD=OB,\\ \angle DOF=\angle BOE,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle DOF\cong \triangle BOE$.
(2) $\because \triangle DOF\cong \triangle BOE$，$\therefore FO=EO$.
又 $\because OB=OD$，$\therefore$ 四边形 $BEDF$ 是
平行四边形，$\therefore DE=BF$.

11. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AC$,$BD$ 相交于点 $O$,延长 $AD$ 至点 $E$,连结 $EO$ 并延长交 $CB$ 的延长线于点 $F$,$\angle E= \angle F$,$AD = BC$.
(1)求证：$O$ 是线段 $AC$ 的中点；
证明：
(2)连结 $AF$、$EC$,求证：四边形 $AFCE$ 是平行四边形.
证明：

证明 (1) $\because \angle E=\angle F$，$\therefore AD// BC$，
又 $\because AD=BC$，$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\therefore OA=OC$，$\therefore$ 点 $O$ 是线段 $AC$ 的中点.
(2) $\because AD// BC$，$\therefore \angle EAC=\angle FCA$.
在 $\triangle OAE$ 和 $\triangle OCF$ 中，
$\left\{\begin{array}{l} \angle EAO=\angle FCO,\\ AO=CO,\\ \angle AOE=\angle COF,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle OAE\cong \triangle OCF(ASA)$，$\therefore OE=OF$，又 $\because OA=OC$，$\therefore$ 四边形 $AFCE$ 是平行四边形.