22. 已知点 $ A $、$ B $ 在数轴上分别表示有理数 $ a $、$ b $,$ A $、$ B $ 两点之间的距离表示为 $ | A B | = | a - b | $,
(1)数轴上点 $ P $ 表示的数是 $ x $,$ | x - 6 | $ 可表示为点 $ P $ 到表示数______的距离;若 $ | x - 6 | = 3 $,则 $ x = $______;
(2)代数式 $ | x - 2 | + | x + 6 | $ 的最小值是______;
(3)若 $ | x + 2 | + | 1 - x | = 9 - | y - 5 | - | 1 + y | $,则 $ x + y $ 的最大值是______.
(4)数轴上有三个不重合的点 $ M $、$ N $、$ P $,若 $ M $、$ N $、$ P $ 三个点中,其中一点到另外两点的距离恰好满足 2 倍的数量关系时,我们称这个点是其他两个点的“倍分点”. 已知点 $ M $ 表示的数是 -4,点 $ N $ 表示的数是 8,若点 $ P $ 是其他两个点的“倍分点”,求此时点 $ P $ 表示的数.
(1)数轴上点 $ P $ 表示的数是 $ x $,$ | x - 6 | $ 可表示为点 $ P $ 到表示数______的距离;若 $ | x - 6 | = 3 $,则 $ x = $______;
(2)代数式 $ | x - 2 | + | x + 6 | $ 的最小值是______;
(3)若 $ | x + 2 | + | 1 - x | = 9 - | y - 5 | - | 1 + y | $,则 $ x + y $ 的最大值是______.
(4)数轴上有三个不重合的点 $ M $、$ N $、$ P $,若 $ M $、$ N $、$ P $ 三个点中,其中一点到另外两点的距离恰好满足 2 倍的数量关系时,我们称这个点是其他两个点的“倍分点”. 已知点 $ M $ 表示的数是 -4,点 $ N $ 表示的数是 8,若点 $ P $ 是其他两个点的“倍分点”,求此时点 $ P $ 表示的数.
答案
(1)6 9 或 3 (2)8 (3)6
(4)设点 P 表示的数为 x,
①当点 P 在点 M 左边时,有 $ 2PM = PN $,
即 $ 2 | - 4 - x | = | 8 - x | $,解得 $ x = - 16 $或 $ x = 0 $(舍去),
②当点 P 在点 M、N 之间靠近点 M 时,有 $ 2MP = PN $,
即 $ 2 | x + 4 | = | 8 - x | $,解得 $ x = 0 $或 $ x = - 16 $(舍去),
当点 P 在点 M、N 之间靠近点 N 时,有 $ MP = 2PN $,
即 $ | x + 4 | = 2 | 8 - x | $,解得 $ x = 4 $或 $ x = 20 $(舍去),
③当点 P 在点 N 的右边时,有 $ MP = 2PN $,
即 $ | x + 4 | = 2 | x - 8 | $,解得 $ x = 20 $或 $ x = 4 $(舍去),
故点 P 表示的数为$-16$或 0 或 4 或 20.
(4)设点 P 表示的数为 x,
①当点 P 在点 M 左边时,有 $ 2PM = PN $,
即 $ 2 | - 4 - x | = | 8 - x | $,解得 $ x = - 16 $或 $ x = 0 $(舍去),
②当点 P 在点 M、N 之间靠近点 M 时,有 $ 2MP = PN $,
即 $ 2 | x + 4 | = | 8 - x | $,解得 $ x = 0 $或 $ x = - 16 $(舍去),
当点 P 在点 M、N 之间靠近点 N 时,有 $ MP = 2PN $,
即 $ | x + 4 | = 2 | 8 - x | $,解得 $ x = 4 $或 $ x = 20 $(舍去),
③当点 P 在点 N 的右边时,有 $ MP = 2PN $,
即 $ | x + 4 | = 2 | x - 8 | $,解得 $ x = 20 $或 $ x = 4 $(舍去),
故点 P 表示的数为$-16$或 0 或 4 或 20.
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