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1. 在$□ ABCD$中，$AB = 10$，$BC = 14$，$E$、$F$分别为边$BC$、$AD$上的点。若四边形$AECF$为正方形，则$AE$的长为()
A.7
B.4或10
C.5或9
D.6或8
A.7
B.4或10
C.5或9
D.6或8
答案
D
解析
设AE的长为x，因为四边形AECF为正方形，所以AE=EC=x，且∠AEB=90°（∠AEC=90°，邻补角性质）。在平行四边形ABCD中，BC=14，故BE=BC-EC=14-x。在Rt△ABE中，AB=10，由勾股定理得：AE²+BE²=AB²，即x²+(14-x)²=10²。整理得x²-14x+48=0，因式分解得(x-6)(x-8)=0，解得x=6或x=8。
2. 如图，小明同学用长$11\mathrm{cm}$、宽$7\mathrm{cm}$的矩形纸板制作一个底面积为$21\mathrm{cm}^2$的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折起即可(损耗不计)。设剪去的正方形的边长为$x\mathrm{cm}$，则可列出关于$x$的方程为(不必化简)。
答案
$(11-2x)(7-2x)=21$。
解析
设剪去的正方形的边长为$x\mathrm{cm}$，则无盖长方体纸盒的底面是由原矩形纸板减去四个正方形的边长后的长方形。
底面的长和宽分别为$(11-2x)\mathrm{cm}$和$(7-2x)\mathrm{cm}$，
根据题意，底面积为$21\mathrm{cm}^2$，因此可以列出方程：
$(11-2x)(7-2x)=21$。
底面的长和宽分别为$(11-2x)\mathrm{cm}$和$(7-2x)\mathrm{cm}$，
根据题意，底面积为$21\mathrm{cm}^2$，因此可以列出方程：
$(11-2x)(7-2x)=21$。
3.(教材P30习题1.4第5题变式)(2023·鸡西)如图，在长为$100\mathrm{m}$、宽为$50\mathrm{m}$的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路。若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是$3600\mathrm{m}^2$，则小路的宽度为$\mathrm{m}$。
答案
5
解析
设小路的宽度为$x\ m$。将花圃部分平移后，可看作一个长为$(100 - 2x)\ m$、宽为$(50 - 2x)\ m$的矩形（因四条小路为两条横向和两条纵向，宽度均为$x$）。根据花圃面积为$3600\ m^2$，得方程$(100 - 2x)(50 - 2x) = 3600$。展开并化简：$4x^2 - 300x + 1400 = 0$，即$x^2 - 75x + 350 = 0$。解得$x_1 = 5$，$x_2 = 70$（$x = 70$超出矩形宽度，舍去）。故小路宽度为$5\ m$。
4.（2025·张家港期末）某社区为了解决停车难的问题，计划将一块矩形空地$ABCD$改建成一个小型停车场，其中涂色部分为停车位区域，其余部分均为宽度是$x\mathrm{m}$的道路（如图）。已知$AD = 50\mathrm{m}$，$AB = 32\mathrm{m}$，且停车位区域的面积为$880\mathrm{m}^2$，求道路的宽度。
答案
解：矩形ABCD的面积为$AD × AB = 50 × 32 = 1600 \, m^2$。
设道路宽度为$x \, m$，则停车位区域为矩形，其长为$(50 - 2x) \, m$（左右两侧道路各宽$x$），宽为$(32 - 2x) \, m$（上下两侧道路各宽$x$）。
停车位面积为$(50 - 2x)(32 - 2x) = 880$。
展开并整理方程：
$(50 - 2x)(32 - 2x) = 880$
$1600 - 100x - 64x + 4x^2 = 880$
$4x^2 - 164x + 720 = 0$
两边同除以4：
$x^2 - 41x + 180 = 0$
解方程：
判别式$\Delta = 41^2 - 4 × 1 × 180 = 1681 - 720 = 961 = 31^2$
$x = \frac{41 \pm 31}{2}$
解得$x_1 = \frac{41 + 31}{2} = 36$（不合题意，舍去，因为$32 - 2x = 32 - 72 = -40 ＜ 0$），$x_2 = \frac{41 - 31}{2} = 5$。
答：道路的宽度为$5 \, m$。
设道路宽度为$x \, m$，则停车位区域为矩形，其长为$(50 - 2x) \, m$（左右两侧道路各宽$x$），宽为$(32 - 2x) \, m$（上下两侧道路各宽$x$）。
停车位面积为$(50 - 2x)(32 - 2x) = 880$。
展开并整理方程：
$(50 - 2x)(32 - 2x) = 880$
$1600 - 100x - 64x + 4x^2 = 880$
$4x^2 - 164x + 720 = 0$
两边同除以4：
$x^2 - 41x + 180 = 0$
解方程：
判别式$\Delta = 41^2 - 4 × 1 × 180 = 1681 - 720 = 961 = 31^2$
$x = \frac{41 \pm 31}{2}$
解得$x_1 = \frac{41 + 31}{2} = 36$（不合题意，舍去，因为$32 - 2x = 32 - 72 = -40 ＜ 0$），$x_2 = \frac{41 - 31}{2} = 5$。
答：道路的宽度为$5 \, m$。
5. 用一根长为$40\mathrm{cm}$的绳子围成一个面积为$a\mathrm{cm}^2$的矩形，则$a$的值不可能为()
A.20
B.40
C.100
D.120
A.20
B.40
C.100
D.120
答案
D
解析
设矩形的长为$x$cm，则宽为$(20 - x)$cm，面积$a = x(20 - x) = -x^2 + 20x$。该二次函数开口向下，对称轴为$x = 10$，当$x = 10$时，$a$有最大值$100$。因为$120 ＞ 100$，所以$a$不可能为$120$。
6.(2024·通辽)如图，小程的爸爸用一段$10\mathrm{m}$长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长$5.5\mathrm{m}$)的矩形鸭舍，其面积为$15\mathrm{m}^2$，在鸭舍侧面中间位置留一个$1\mathrm{m}$宽的门(由其他材料制成)，则$BC$的长为()
A.$5\mathrm{m}$或$6\mathrm{m}$
B.$2.5\mathrm{m}$或$3\mathrm{m}$
C.$5\mathrm{m}$
D.$3\mathrm{m}$
A.$5\mathrm{m}$或$6\mathrm{m}$
B.$2.5\mathrm{m}$或$3\mathrm{m}$
C.$5\mathrm{m}$
D.$3\mathrm{m}$
答案
C
解析
设BC的长为$x$米（BC为平行于墙的边），矩形的宽为$y$米。
∵靠墙一边为AD（墙长5.5m），铁丝网围AB、BC、CD三边，侧面（AB或CD）留1m宽门，
∴铁丝网总长：$2y + x - 1 = 10$（门无需铁丝网），即$x + 2y = 11$。
∵面积为$15m^2$，∴$xy = 15$。
联立方程：$\begin{cases}x + 2y = 11 \\ xy = 15\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 5 \\ y = 3\end{cases}$或$\begin{cases}x = 6 \\ y = 2.5\end{cases}$。
∵BC平行于墙，墙长5.5m，∴$x \leq 5.5$，$x = 6$舍去。
故BC的长为5m。
∵靠墙一边为AD（墙长5.5m），铁丝网围AB、BC、CD三边，侧面（AB或CD）留1m宽门，
∴铁丝网总长：$2y + x - 1 = 10$（门无需铁丝网），即$x + 2y = 11$。
∵面积为$15m^2$，∴$xy = 15$。
联立方程：$\begin{cases}x + 2y = 11 \\ xy = 15\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 5 \\ y = 3\end{cases}$或$\begin{cases}x = 6 \\ y = 2.5\end{cases}$。
∵BC平行于墙，墙长5.5m，∴$x \leq 5.5$，$x = 6$舍去。
故BC的长为5m。
