登录
9. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC = 60^{\circ}$，$BC = 24$，点$D$在$BA$的延长线上，$CA = CD$，$BD = 15$，则$AD$的长为 (
A.6
B.5
C.4
D.3
A
)A.6
B.5
C.4
D.3
答案
9. A
解析
解：设$AD = x$，则$AB = BD - AD = 15 - x$。
在$△ ABC$中，由余弦定理得：$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 · AB · BC · \cos ∠ ABC$，即$AC^2=(15 - x)^2 + 24^2 - 2 · (15 - x) · 24 · \cos 60°$。
因为$\cos 60°=\frac{1}{2}$，所以$AC^2=(15 - x)^2 + 576 - 24(15 - x)$。
在$△ ADC$中，$CA = CD$，过$C$作$CE ⊥ AD$于$E$，则$AE = ED=\frac{AD}{2}=\frac{x}{2}$，$BE = AB + AE = 15 - x+\frac{x}{2}=15 - \frac{x}{2}$。
在$Rt△ CEB$中，$CE^2 = BC^2 - BE^2 = 24^2 - (15 - \frac{x}{2})^2$。
在$Rt△ CEA$中，$AC^2 = AE^2 + CE^2 = (\frac{x}{2})^2 + 24^2 - (15 - \frac{x}{2})^2$。
联立两式：$(15 - x)^2 + 576 - 24(15 - x)=(\frac{x}{2})^2 + 576 - (15 - \frac{x}{2})^2$，
化简得：$225 - 30x + x^2 - 360 + 24x=\frac{x^2}{4} - (225 - 15x + \frac{x^2}{4})$，
$-135 - 6x=-225 + 15x$，
$21x = 90$，
解得$x = 6$。
$AD = 6$。
答案：A
在$△ ABC$中，由余弦定理得：$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 · AB · BC · \cos ∠ ABC$，即$AC^2=(15 - x)^2 + 24^2 - 2 · (15 - x) · 24 · \cos 60°$。
因为$\cos 60°=\frac{1}{2}$，所以$AC^2=(15 - x)^2 + 576 - 24(15 - x)$。
在$△ ADC$中，$CA = CD$，过$C$作$CE ⊥ AD$于$E$，则$AE = ED=\frac{AD}{2}=\frac{x}{2}$，$BE = AB + AE = 15 - x+\frac{x}{2}=15 - \frac{x}{2}$。
在$Rt△ CEB$中，$CE^2 = BC^2 - BE^2 = 24^2 - (15 - \frac{x}{2})^2$。
在$Rt△ CEA$中，$AC^2 = AE^2 + CE^2 = (\frac{x}{2})^2 + 24^2 - (15 - \frac{x}{2})^2$。
联立两式：$(15 - x)^2 + 576 - 24(15 - x)=(\frac{x}{2})^2 + 576 - (15 - \frac{x}{2})^2$，
化简得：$225 - 30x + x^2 - 360 + 24x=\frac{x^2}{4} - (225 - 15x + \frac{x^2}{4})$，
$-135 - 6x=-225 + 15x$，
$21x = 90$，
解得$x = 6$。
$AD = 6$。
答案：A
10. 如图，一次函数$y = kx + b$与$y = mx + n$的图象交于点$(1, 2)$。已知下列说法：
①对于函数$y = kx + b$，$y$随$x$的增大而减小；
②函数$y = mx + n$的图象不经过第三象限；
③不等式$kx + b ＞ mx + n$的解集是$x ＞ 1$；
④$n - b = 2(k - m)$。
其中正确的有 (
A.①③
B.②③④
C.①②④
D.②③
①对于函数$y = kx + b$，$y$随$x$的增大而减小；
②函数$y = mx + n$的图象不经过第三象限；
③不等式$kx + b ＞ mx + n$的解集是$x ＞ 1$；
④$n - b = 2(k - m)$。
其中正确的有 (
D
)A.①③
B.②③④
C.①②④
D.②③
答案
10. D
解析
解：①由图可知，函数$y=kx+b$的图象从左到右上升，$y$随$x$的增大而增大，故①错误；
②函数$y=mx+n$的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故②正确；
③两函数图象交于点$(1,2)$，当$x＞1$时，$y=kx+b$的图象在$y=mx+n$的图象上方，所以不等式$kx+b＞mx+n$的解集是$x＞1$，故③正确；
④因为点$(1,2)$在两函数图象上，所以$k+b=2$，$m+n=2$，两式相减得$k+b-(m+n)=0$，即$k-m+n-b=0$，所以$n-b=m-k$，故④错误。
综上，正确的有②③。
答案：D
②函数$y=mx+n$的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故②正确；
③两函数图象交于点$(1,2)$，当$x＞1$时，$y=kx+b$的图象在$y=mx+n$的图象上方，所以不等式$kx+b＞mx+n$的解集是$x＞1$，故③正确；
④因为点$(1,2)$在两函数图象上，所以$k+b=2$，$m+n=2$，两式相减得$k+b-(m+n)=0$，即$k-m+n-b=0$，所以$n-b=m-k$，故④错误。
综上，正确的有②③。
答案：D
11. 必然事件的概率是
1
。答案
11. 1
12. 今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二。问人数、物价各几何？(选自《九章算术》)题目大意是：几个人合伙买东西，若每人出11个钱，则会多出8个钱；若每人出9个钱，则还少12个钱。问人数、物品的价格分别是多少。设共有$x$人，物品的价格是$y$个钱，则根据题意列出的二元一次方程组是。
答案
12. $\begin{cases}11x - 8 = y, \\ 9x + 12 = y\end{cases}$
13. 如图，小明向由8个完全相同的小正方形组成的靶盘中随意投一枚飞镖，飞镖落在阴影部分的概率是
$\dfrac{3}{8}$
。答案
13. $\dfrac{3}{8}$
14. 如图，$∠ BAC = 110^{\circ}$，$MP$和$NQ$分别垂直平分$AB$和$AC$，则$∠ PAQ$的度数是
$40^{\circ}$
。答案
14. $40^{\circ}$
解析
解：
∵MP垂直平分AB，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠B，
同理，QA=QC，
∴∠QAC=∠C，
∵∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=70°，
∴∠PAB+∠QAC=∠B+∠C=70°，
∴∠PAQ=∠BAC-(∠PAB+∠QAC)=110°-70°=40°。
故答案为：$40^{\circ}$
∵MP垂直平分AB，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠B，
同理，QA=QC，
∴∠QAC=∠C，
∵∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=70°，
∴∠PAB+∠QAC=∠B+∠C=70°，
∴∠PAQ=∠BAC-(∠PAB+∠QAC)=110°-70°=40°。
故答案为：$40^{\circ}$
15. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$AB = 10$，$AC = 6$，角平分线$AE$与$BF$相交于点$O$，则点$O$到斜边$AB$的距离为
2
。答案
15. 2
解析
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$AB=10$，$AC=6$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$。
$△ ABC$的面积为$\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×6×8=24$。
因为点$O$是角平分线$AE$与$BF$的交点，所以点$O$到$△ ABC$三边的距离相等，设该距离为$h$。
根据角平分线性质，点$O$到$AB$、$BC$、$AC$的距离均为$h$。
$△ ABC$的面积可表示为$△ AOB$、$△ BOC$、$△ AOC$的面积之和，即：
$\frac{1}{2}× AB× h+\frac{1}{2}× BC× h+\frac{1}{2}× AC× h=24$
$\frac{1}{2}×(AB+BC+AC)× h=24$
$\frac{1}{2}×(10+8+6)× h=24$
$12h=24$
解得$h=2$。
故点$O$到斜边$AB$的距离为$2$。
$△ ABC$的面积为$\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×6×8=24$。
因为点$O$是角平分线$AE$与$BF$的交点，所以点$O$到$△ ABC$三边的距离相等，设该距离为$h$。
根据角平分线性质，点$O$到$AB$、$BC$、$AC$的距离均为$h$。
$△ ABC$的面积可表示为$△ AOB$、$△ BOC$、$△ AOC$的面积之和，即：
$\frac{1}{2}× AB× h+\frac{1}{2}× BC× h+\frac{1}{2}× AC× h=24$
$\frac{1}{2}×(AB+BC+AC)× h=24$
$\frac{1}{2}×(10+8+6)× h=24$
$12h=24$
解得$h=2$。
故点$O$到斜边$AB$的距离为$2$。
三、解答题（共60分）
16. （6分）解方程组：$\begin{cases}\frac{x}{3} - \frac{y}{4} = 1,\\3x - 4y = 2。\end{cases}$
16. （6分）解方程组：$\begin{cases}\frac{x}{3} - \frac{y}{4} = 1,\\3x - 4y = 2。\end{cases}$
答案
16. 解：原方程组可化为 $\begin{cases}4x - 3y = 12, ① \\ 3x - 4y = 2。②\end{cases}$
①×4 - ②×3，得 $7x = 42$。
解得 $x = 6$。
把 $x = 6$ 代入①，得 $y = 4$。
所以方程组的解为 $\begin{cases}x = 6, \\ y = 4。\end{cases}$
①×4 - ②×3，得 $7x = 42$。
解得 $x = 6$。
把 $x = 6$ 代入①，得 $y = 4$。
所以方程组的解为 $\begin{cases}x = 6, \\ y = 4。\end{cases}$
