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12. 二次函数 $y=2x^2 -4x$ 的图像经过第
一、二、四
象限.答案
12. 一、二、四
13. 函数$y=-x^2+2x+3$的图像在$x$轴上截得的两个交点的距离为
4
。答案
13. 4
14. 如果二次函数的图像与x轴没有交点，且与y轴的交点的纵坐标为－3，那么这个二次函数图像的开口方向是
向下
。答案
14. 向下
三、解答题
15. 已知二次函数的图像经过点$(0,2)$、$(1,1)$、$(3,5)$，求该函数的表达式。
15. 已知二次函数的图像经过点$(0,2)$、$(1,1)$、$(3,5)$，求该函数的表达式。
答案
15. 设 $y=ax^2+bx+c$,根据题意,有
$\begin{cases}2=a×0^2+b×0+c,\\1=a×1^2+b×1+c,\\5=a×3^2+b×3+c,\end{cases}$
得$\begin{cases}a=1,\\b=-2,\\c=2.\end{cases}$
所以该函数的表达式为 $y=x^2-2x+2.$
$\begin{cases}2=a×0^2+b×0+c,\\1=a×1^2+b×1+c,\\5=a×3^2+b×3+c,\end{cases}$
得$\begin{cases}a=1,\\b=-2,\\c=2.\end{cases}$
所以该函数的表达式为 $y=x^2-2x+2.$
16. 已知抛物线的顶点为$(-1,2)$，且过点$(2,1)$，求该抛物线的表达式。
答案
16. 根据题意,设 $y-2=a(x+1)^2$,又其过点$(2,1)$,有 $1-2=a(2+1)^2$,得 $a=-\frac{1}{9}$. 所以所求抛物线的表达式为 $y=-\frac{1}{9}(x+1)^2+2.$
17. 已知抛物线经过点$A(-1,0)$、$B(1,2)$和点$C$，点$C$在$x$轴的正半轴上，且$AC=3$。
(1)求点$C$的坐标；
(2)求抛物线的表达式。
(1)求点$C$的坐标；
(2)求抛物线的表达式。
答案
17. (1) $\because AC=3,A(-1,0),\therefore OC=2,\therefore C(2,0).$
(2) $\because$ 抛物线过 $A、B、C$ 三点，
$\therefore$ 设 $y = ax^2 + bx + c$, 有
$\begin{cases}0=a×(-1)^2+b×(-1)+c,\\2=a×1^2+b×1+c,\\0=a×2^2+b×2+c.\end{cases}$
解 得
$a=-1,b=1,c=2.$ 所以所求抛物线的表达式为 $y=-x^2+x+2.$
(2) $\because$ 抛物线过 $A、B、C$ 三点，
$\therefore$ 设 $y = ax^2 + bx + c$, 有
$\begin{cases}0=a×(-1)^2+b×(-1)+c,\\2=a×1^2+b×1+c,\\0=a×2^2+b×2+c.\end{cases}$
解 得
$a=-1,b=1,c=2.$ 所以所求抛物线的表达式为 $y=-x^2+x+2.$
18. 二次函数图像的对称轴是直线$x=-1$，与$y$轴交点的纵坐标是$-6$，且经过点$(2,10)$，求此二次函数的表达式.
答案
18. $\because$ 二次函数的对称轴是直线$x=-1,\therefore$ 设 $y=a(x+1)^2+b.$
$\because$ 函数过点 $(2,10),\therefore 10=9a +b.$
又$\because$ 函数过点$(0,-6),\therefore -6=a +b.$
联立解得 $a=2,b=-8.$
$\therefore$ 此二次函数的表达式为 $y=2(x+1)^2-8.$
$\because$ 函数过点 $(2,10),\therefore 10=9a +b.$
又$\because$ 函数过点$(0,-6),\therefore -6=a +b.$
联立解得 $a=2,b=-8.$
$\therefore$ 此二次函数的表达式为 $y=2(x+1)^2-8.$
