一、选择题
1. 下列不是二次函数关系式的是()

A.$y=3x^2+4$
B.$y=-\dfrac{1}{3}x^2$
C.$y=(x+1)(x-2)$
D.$y=\sqrt{x^2}$

1. D

【分析】
要判断哪个选项不是二次函数，首先要明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a\ne0$）的函数是二次函数，满足的条件为：①等号右边是整式；②自变量$x$的最高次数为2；③二次项系数不为0。我们只需对每个选项逐一验证是否符合上述条件，就能选出正确答案。
【解析】
根据二次函数的定义逐一分析选项：
A. $y=3x^2+4$，等号右边是整式，$x$的最高次数为2，二次项系数$3\ne0$，属于二次函数，不符合题意；
B. $y=-\dfrac{1}{3}x^2$，等号右边是整式，$x$的最高次数为2，二次项系数$-\dfrac{1}{3}\ne0$，属于二次函数，不符合题意；
C. 先将解析式展开化简：$y=(x+1)(x-2)=x^2-x-2$，等号右边是整式，$x$的最高次数为2，二次项系数$1\ne0$，属于二次函数，不符合题意；
D. 化简解析式得$y=\sqrt{x^2}=|x|$，自变量$x$的最高次数为1，不属于二次函数，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数的概念
2. 代数式化简
【点评】
本题考查二次函数的识别，解题的核心是准确把握二次函数的定义特征，注意遇到可化简的解析式要先化简，再判断自变量的最高次数，同时要留意等号右侧必须是整式。
【难度系数】
0.9

2. 自由落体运动公式$h=\frac{1}{2}gt^2$（$g$为常数），$h$与$t$之间的关系是()

A.正比例函数
B.一次函数
C.二次函数
D.以上答案都不对

2. C

【分析】
解题时首先要回忆正比例函数、一次函数、二次函数的定义，再结合给定的公式逐一比对判断：第一步明确各函数定义的核心特征，尤其是自变量的最高次数、系数不为0的要求；第二步将公式$h=\frac{1}{2}gt^2$和各函数定义匹配，g是不为0的常数，因此$\frac{1}{2}g$是常数且不为0，自变量t的最高次数是2，符合二次函数的特征，即可得出答案。
【解析】
我们先明确三类函数的定义：
1. 正比例函数：形如$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$），自变量最高次数为1；
2. 一次函数：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k\ne0$），自变量最高次数为1；
3. 二次函数：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，$a\ne0$），自变量最高次数为2。
题中公式$h=\frac{1}{2}gt^2$里，$g$是不为0的常数，因此$\frac{1}{2}g$是不为0的常数，对应二次函数定义里的$a$，且$b=0$、$c=0$，自变量$t$的最高次数为2，完全符合二次函数的定义，因此$h$与$t$是二次函数关系。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分不同类型的函数，解题的关键是抓住各类函数定义中“自变量最高次数”“最高次项系数不为0”两个核心判断要点，熟练掌握相关定义就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9

3. 函数$y=(m-n)x^2+mx+n$是二次函数的条件是()

A.$m,n$是常数,且$m≠0$
B.$m,n$是常数,且$n≠0$
C.$m,n$是常数,且$m≠n$
D.$m,n$为任意实数

3. C

【分析】
要判断一个函数是否为二次函数，首先回忆二次函数的定义核心：一是函数最高次项为二次，二是二次项的系数不能为0。本题中先找到函数的二次项为$(m-n)x^2$，因此只需保证二次项系数不为0，且$m、n$为常数即可，据此逐一判断选项就能得到答案。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠ 0$）的函数叫做二次函数。
对应本题函数$y=(m-n)x^2+mx+n$：
1. 二次项系数为$m-n$，要满足二次项系数不为0，即$m-n≠ 0$，也就是$m≠ n$；
2. 一次项系数$m$、常数项$n$无额外的非零要求，仅需为常数即可。
综上，该函数是二次函数的条件为$m,n$是常数，且$m≠ n$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的概念
【点评】
本题属于二次函数定义的基础考查题，解题关键是抓住“二次项系数不为0”这一核心条件，不要被一次项、常数项的系数干扰做出错误判断。
【难度系数】
0.8

4. 若函数$y=4x^2+1$的值为5，则自变量$x$的值为()

A.1
B.-1
C.$\pm1$
D.$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

4. C

【分析】
题目已知二次函数的函数值，要求对应的自变量x的值，解题思路为：先将y=5代入二次函数的解析式，得到关于x的一元二次方程，再用直接开平方法解一元二次方程即可，注意开平方时要考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
解：将y=5代入函数解析式$y=4x^2+1$，可得：
$4x^2 + 1 = 5$
移项计算得：$4x^2 = 4$
两边同时除以4得：$x^2 = 1$
对等式两边开平方得：$x = \pm1$
因此自变量x的值为$\pm1$。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的概念
2.解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查已知二次函数的函数值求对应自变量的方法，解题核心是代入解析式列方程求解，需要注意正数开平方时有两个互为相反数的根，不要漏写负根。
【难度系数】
0.9

5*. 在半径为4 cm的圆中，挖去一个半径为x cm的圆面，剩下一个圆环的面积为y cm²，则y与x的函数关系为()

A.$y=π x^2 -4$
B.$y=π (4-x)^2$
C.$y=-(x^2 +4)$
D.$y=-π x^2 +16π$

5. D

【分析】
解题时首先明确圆环面积的等量关系：圆环面积=外圆面积-挖去的内圆面积。先回忆圆的面积公式为$S=π r^2$，分别计算外圆和挖去的小圆的面积，再将两个面积代入等量关系化简，就能得到$y$与$x$的函数关系式，最后对应选项判断即可。
【解析】
解：已知外圆半径为4cm，根据圆的面积公式$S=π r^2$，可得外圆面积为：$π × 4^2=16π \ \mathrm{cm}^2$
挖去的小圆半径为$x$ cm，因此小圆的面积为：$π x^2\ \mathrm{cm}^2$
圆环面积$y$等于外圆面积减去小圆面积，因此：
$y=16π-π x^2$
整理得：$y=-π x^2+16π$，与D选项表述一致。
【答案】
D
【知识点】
圆的面积计算；列函数关系式；二次函数的概念
【点评】
这道题属于基础应用题，结合几何图形的面积计算考查函数关系式的建立，只要掌握圆环面积的推导逻辑和圆的面积公式就能快速求解，易错点是容易误将圆环面积记为$π(R-r)^2$从而错选B，计算时注意不要漏写$π$。
【难度系数】
0.8

二、填空题
1. 已知函数$y=ax^2+bx+c$（其中$a,b,c$是常数），当a时其是二次函数；当a，b时其是一次函数；当a，b，c时，其是正比例函数。

1. ≠0,=0,≠0,=0,≠0,=0

【分析】
我们需要结合二次函数、一次函数、正比例函数的定义，逐一确定对应系数的取值要求：
1. 二次函数的核心是最高次为二次，因此二次项系数不能为0；
2. 一次函数的核心是最高次为一次，因此要消去二次项，同时保留一次项，即二次项系数为0，一次项系数不为0；
3. 正比例函数是特殊的一次函数，除了满足一次函数的系数要求外，还要没有常数项，即常数项为0。
【解析】
根据各类整式函数的定义分析：
1. 当函数为二次函数时，需二次项系数不为0，即$a≠0$；
2. 当函数为一次函数时，需二次项系数为0且一次项系数不为0，即$a=0$，$b≠0$；
3. 当函数为正比例函数时，需二次项系数为0、一次项系数不为0且常数项为0，即$a=0$，$b≠0$，$c=0$。
【答案】
≠0；=0；≠0；=0；≠0；=0
【知识点】
二次函数的定义；一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是熟记各类整式函数的定义，尤其要注意不要遗漏最高次项系数不为0的隐含限制条件。
【难度系数】
0.9

2. 下列函数:①$y=(x-1)(x+3)$, ②$y=\dfrac{3}{x+3}$, ③$y=\sqrt{x^2 + 1}$, ④$y=2(x^2+1)-4x$, ⑤$y=(x-5)^2 -x^2$, 不是二次函数的是(填序号).

2. ②③⑤

【分析】
要判断函数是否为二次函数，首先明确二次函数的三个必备判定条件：1、函数表达式是关于自变量x的整式；2、自变量x的最高次数为2；3、二次项系数不为0，三者缺一不可。解题时先将每个函数的表达式化简，再对照上述条件逐一判断即可。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠ 0$）的函数是二次函数，逐一分析如下：
① 对$y=(x-1)(x+3)$展开化简，得$y=x^2+2x-3$，满足二次函数定义，是二次函数；
② $y=\dfrac{3}{x+3}$的表达式是分式，不是整式，不符合二次函数要求，不是二次函数；
③ $y=\sqrt{x^2 + 1}$的表达式含二次根式，不是整式，不符合二次函数要求，不是二次函数；
④ 对$y=2(x^2+1)-4x$展开化简，得$y=2x^2-4x+2$，满足二次函数定义，是二次函数；
⑤ 对$y=(x-5)^2 -x^2$展开化简，得$y=x^2-10x+25-x^2=-10x+25$，自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数。
综上，不是二次函数的是②③⑤。
【答案】
②③⑤
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 整式的化简运算
【点评】
本题考查二次函数的判定，解题核心是牢记二次函数的定义，注意需先将函数解析式化简后再判断，不要忽略“表达式为整式”“二次项系数不为0”这两个容易出错的点。
【难度系数】
0.7

3. 如果函数$y=(k-3)x^{k^2 -7} +4x +1$是关于x的二次函数，则k=.

3. -3

【分析】
要确定k的值，需依据二次函数的定义分析：二次函数需满足两个核心条件：①含x的最高次项的次数为2；②二次项的系数不能为0（否则不存在二次项，不符合二次函数的要求）。我们先根据最高次数为2列方程求出k的可能值，再结合二次项系数不为0的限制排除不符合要求的取值，即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 函数$y=(k-3)x^{k^2 -7} +4x +1$是关于x的二次函数
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 最高次项的次数为2，即：
$k^2 -7 = 2$
移项得$k^2 = 9$，解得$k=3$或$k=-3$
2. 二次项系数不为0，即：
$k - 3 ≠ 0$，解得$k ≠ 3$
综上，舍去不符合要求的$k=3$，得$k=-3$
【答案】
-3
【知识点】
1. 二次函数的概念
2. 解一元二次方程
3. 不等式简单应用
【点评】
本题是二次函数概念的基础考察题，解题的易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制，直接得出k=±3的错误结果，求解此类题时要同时满足次数和系数两个条件，避免漏判。
【难度系数】
0.7

4. 一个正方形的边长是3，若边长增加x，面积增加y，则y与x之间的函数关系式为。

4. $y=x^2+6x$

【分析】
解题时首先要明确面积增加量的等量关系：增加的面积y = 边长增加后的正方形面积 - 原正方形面积。第一步先计算原正方形的面积，第二步表示出边长增加x后的新边长，再计算新正方形的面积，最后代入等量关系化简即可得到y与x的函数关系式。
【解析】
解：已知原正方形的边长为3，根据正方形面积公式，原正方形面积为：
$S_{\mathrm{原}} = 3 × 3 = 9$
边长增加$x$后，新正方形的边长为$(3+x)$，则新正方形面积为：
$S_{\mathrm{新}} = (3+x)^2$
因为面积增加量$y$等于新面积减去原面积，所以：
$y = S_{\mathrm{新}} - S_{\mathrm{原}} = (3+x)^2 - 9$
展开并化简得：
$y = x^2 + 6x + 9 - 9 = x^2 + 6x$
【答案】
$y=x^2+6x$
【知识点】
正方形面积计算；根据实际问题列二次函数关系式；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，核心是结合几何图形面积变化的等量关系列函数表达式，解题的关键是准确区分原图形和变化后图形的面积，展开计算时注意完全平方公式的正确运用，避免漏项。
【难度系数】
0.9

5. 某校九(1)班共有x名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y次，试写出y与x之间的函数关系式：，它(填“是”或“不是”)二次函数。

5. $y=\dfrac{x(x-1)}{2}(或y = \dfrac{x^2 - x}{2})$,是

【分析】
首先梳理握手问题的计数逻辑：每名学生都要和除自己之外的其他同学握手，因此x名学生每人握手(x-1)次，但此时每一次握手会被两名同学分别统计1次，总计数是实际握手次数的2倍，需要除以2得到真实的握手总次数y；得到y和x的关系式后，再对照二次函数的定义（形如y=ax²+bx+c，a≠0且a、b、c为常数的整式函数）判断函数类型即可。
【解析】
1. 列函数关系式：
班级共有x名学生，每名学生要和其余(x-1)名学生握手，若直接累加计数得到x(x-1)次，由于每一次握手被重复计算了2次，因此实际握手总次数为：
$ y = \frac{x(x-1)}{2} $，整理后也可写为$ y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x $。
2. 判断是否为二次函数：
上述关系式是整式，自变量x的最高次数为2，且二次项系数$ \frac{1}{2} ≠ 0 $，完全符合二次函数的定义，因此它是二次函数。
【答案】
$ y=\dfrac{x(x-1)}{2}(或y = \dfrac{x^2 - x}{2}) $，是
【知识点】
1. 握手问题计数
2. 二次函数的定义
【点评】
本题结合生活场景考查函数关系式的列写与二次函数的识别，解题易错点是忽略握手计数的重复问题，忘记将总次数除以2，掌握计数逻辑和二次函数的定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.8