1. (2026·眉山中考)如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=6 cm，BD=8 cm，点P为线段BC上的一个动点(不与端点重合)，过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥BD于点N，连接MN，则MN的最小值为 ()

A.$\frac{5}{4}$ cm
B.$\frac{12}{5}$ cm
C.$\frac{5}{2}$ cm
D.$\frac{24}{5}$ cm

1. B 解析:如图,连接 OP,
∵ 在菱形 ABCD 中,
∴ ∠BOC=90°,OC=$\frac{1}{2}$AC=3 cm,OB=$\frac{1}{2}$BD=4 cm.
∵ PM⊥AC,PN⊥BD,
∴ 四边形 OMPN 为矩形,
∴ MN=OP,则 MN 的最小值为 OP 的最小值.
∵ 点 P 为线段 BC 上的一个动点,
∴ 当 OP⊥BC 时,OP 最小,此时 $S_{△BOC}=\frac{1}{2}OB·OC=\frac{1}{2}BC·OP$.
∵ $BC=\sqrt{3^2+4^2}=5(cm)$,
∴ $OP=\frac{OB·OC}{BC}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}(cm)$,
∴ MN 的最小值为 $\frac{12}{5}$ cm.

2. (宿迁中考节选)如图,二次函数$y=\frac{1}{2}x^2+bx+c$与x轴交于O(0,0),A(4,0)两点,顶点为C,连接OC,AC,若点B是线段OA上一动点,连接BC,将△ABC沿BC折叠后,点A落在点A'的位置,线段A'C与x轴交于点D,且点D与点O,A不重合.
(1)求二次函数的表达式.
(2)①求证:△OCD∽△A'BD;
②求$\frac{DB}{BA}$的最小值.

2. (1)把 $O(0,0),A(4,0)$ 代入 $y=\frac{1}{2}x^2+bx+c$,得 $\begin{cases}0=c,\\0=8+4b+c,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}b=-2,\\c=0.\end{cases}$
∴ 二次函数的表达式为 $y=\frac{1}{2}x^2-2x$.
(2)①
∵ 点 C 为抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2-2x$ 的顶点,O,A 为抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2-2x$ 与 x 轴的交点,
∴ 由抛物线的对称性得 OC=AC,
∴ ∠COA = ∠CAO.
∵ △ABC 沿 BC 折叠得 △A'BC,
∴ ∠CAO = ∠A',
∴ ∠COA = ∠A'. 又
∵ ∠ODC = ∠A'DB,
∴ △OCD∽△A'BD.
②
∵ $y=\frac{1}{2}x^2-2x=\frac{1}{2}(x-2)^2-2$,
∴ C(2,-2).
∴ OC = $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$.
∵ △OCD ∽ △A'BD,
∴ $\frac{DB}{BA'}=\frac{DC}{OC}=\frac{DC}{2\sqrt{2}}$.
∵ △ABC沿 BC 折叠得△A'BC,
∴ BA=BA'.
∴ $\frac{DB}{BA}=\frac{DC}{2\sqrt{2}}$.
∴ 当DC 长最小时,$\frac{DB}{BA}$最小.如图,过点 C 作 CD'⊥x 轴于点 D',由“垂线段最短”得 DC 长的最小值为 CD'的长.
∵ C(2,-2),
∴ CD' = 2,即 DC 长的最小值为 2,
∴ $\frac{DB}{BA}$的最小值为 $\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. (2026·无锡期中)如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边CD,BC上的动点,连接AE,EF,G,H分别为AE,EF的中点,连接GH.若$∠ B=60°$,GH的最小值为$3\sqrt{2}$,则BC长为 ()

A.$6\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{3}$
C.$4\sqrt{6}$
D.$6\sqrt{6}$

3. C 解析:连接 AF,如图,
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AB=BC.又 G,H 分别为 AE,EF 的中点,
∴ GH 是 △AEF 的中位线,
∴ $GH=\frac{1}{2}AF$.当 AF ⊥ BC 时,AF 最小,则 GH 最小.
∵ GH 的最小值为 $3\sqrt{2}$,
∴ 此时 AF = 2GH = $6\sqrt{2}$.
∵ AF ⊥ BC,
∴ ∠AFB=90°.
∵ ∠B = 60°,
∴ ∠BAF = 90° - ∠B = 30°,
∴ AB = 2BF. 设 BF = x,则 AB = 2x.
∵ $AF^2 + BF^2 = AB^2$,
∴ $(6\sqrt{2})^2 + x^2 = (2x)^2$,解得 $x=2\sqrt{6}$,
∴ $BC=AB=4\sqrt{6}$.

4.（盘锦中考）如图，四边形ABCD是矩形，$AB=\sqrt{10}$，$AD=4\sqrt{2}$，点P是边AD上一点（不与点A，D重合），连接PB，PC，点M，N分别是PB，PC的中点，连接MN，AM，DN，点E在边AD上，$ME// DN$，则$AM+ME$的最小值是 （）

A.$2\sqrt{3}$
B.$3$
C.$3\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{2}$

4. C 解析:
∵ 点 M,N 分别是 PB,PC 的中点,
∴ $AM=\frac{1}{2}BP$, $DN=\frac{1}{2}PC$,$MN// BC// AD$.
∵ $ME// DN$,
∴ 四边形 DEMN 是平行四边形,
∴ ME=ND,
∴ $AM+ME=AM+DN=\frac{1}{2}(BP+PC)$,
∴ $AM+ME$ 的最小值就是 $\frac{1}{2}(BP+PC)$ 的最小值.如图,找到点 C 关于直线 AD 的对称点 Q,连接 PQ,BQ.BP+PC = BP+PQ,当 B,P,Q 三点共线时,BP+PQ 的最小值就是 BQ 的长度.在 Rt△BCQ 中,$BC=AD=4\sqrt{2}$,$QC=2CD=2\sqrt{10}$, $BQ=\sqrt{BC^2+QC^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+(2\sqrt{10})^2}=6\sqrt{2}$,
∴ $AM+ME$ 的最小值为 $3\sqrt{2}$.故选 C.

5. (2024·新疆中考)如图,抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 -4x +6$与y轴交于点A,与x轴交于点B,线段CD在抛物线的对称轴上移动(点C在点D下方),且$CD=3$.当$AD+BC$的值最小时,点C的坐标为.

5. (4,1) 解析:$y=\frac{1}{2}x^2-4x+6=\frac{1}{2}(x-4)^2-2$,
∴ 对称轴为直线 x=4,如图,设抛物线与 x 轴另一个交点为 F,当 x=0 时,y=6,
∴ A(0,6),当 y=0 时,$0=\frac{1}{2}x^2-4x+6$,解得 $x_1=2$,$x_2=6$,
∴ B(2,0),F(6,0).在 y 轴上取点 E(0,3),连接 CE,CF,EF,
∴ AE=3=CD.
∵ CD//AE,
∴ 四边形 AECD 是平行四边形,
∴ AD=CE.
∵ 抛物线对称轴为直线 x=4,
∴ BC=CF,
∴ AD+BC=CE+CF≥EF,当 E,C,F 三点共线时,AD+BC 最小.设直线 EF 的表达式为 y=kx+b,
∴ $\begin{cases}6k+b=0,\\b=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-\frac{1}{2},\\b=3,\end{cases}$
∴ $y=-\frac{1}{2}x+3$,当 x=4 时,$y=-\frac{1}{2}×4+3=1$,
∴ 当 AD+BC 的值最小时,点 C 的坐标为(4,1).

6. (2025·自贡中考)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,$Rt△ ABC$的顶点$C,A$分别在$x$轴、$y$轴正半轴上,$∠ ACB=90°,∠ BAC=30°,BC=2$,以$BC$为边作等边$△ BCD$,连接$OD$,则$OD$的最大值为.

6. $\sqrt{3}+\sqrt{13}$ 解析:
∵ 在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=2,
∴ $AC=BC÷\tan30°=2÷\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$.
∵ △BCD 为等边三角形,
∴ CD=BC=2,∠BCD=60°.如图,取 AC 的中点 E,连接 OE,DE,作 EF⊥CD 交 DC 的延长线于 F,则 AE=$CE=OE=\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}$,∠FCE=180°-∠ACB-∠BCD=30°,
∴ $EF=\frac{1}{2}CE=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$CF=\sqrt{CE^2-EF^2}=\frac{3}{2}$,
∴ $DF=DC+CF=\frac{7}{2}$,
∴ $DE=\sqrt{EF^2+DF^2}=\sqrt{13}$.
∵ OD≤DE+OE,
∴ $OD≤\sqrt{3}+\sqrt{13}$,
∴ OD 的最大值为 $\sqrt{3}+\sqrt{13}$.