1.下列命题正确的有
（）
①过两点可以作无数个圆；②经过三点一定可以作圆；③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；④任意一个圆有且只有一个内接三角形。

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

1.B

【分析】
要判断命题的正确性，需结合确定圆的条件、三角形外接圆、圆的内接三角形的定义，逐个验证4个命题：首先回忆过点作圆的核心要求是圆心到所有点的距离相等，以此为依据判断①②；再结合外接圆、内接三角形的定义判断③④即可得出结果。
【解析】
我们逐个分析每个命题：
1. 命题①：过两点作圆时，圆心需满足到这两个点的距离相等，因此圆心在两点连线的垂直平分线上，垂直平分线上有无数个点，可对应无数个圆心和半径，因此过两点可以作无数个圆，①正确。
2. 命题②：只有经过不在同一直线上的三个点才能确定一个圆，若三个点在同一条直线上，无法找到一个点到这三个点的距离都相等，因此不能作圆，②错误。
3. 命题③：任意三角形的三个顶点都不在同一直线上，因此可以确定唯一的一个圆，即该三角形的外接圆，因此任意一个三角形有且只有一个外接圆，③正确。
4. 命题④：在圆上任意选取3个不共线的点都可以构成一个内接三角形，圆上有无数个点，因此一个圆有无数个内接三角形，④错误。
综上，正确的命题为①③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
确定圆的条件；三角形外接圆；圆的内接三角形
【点评】
本题考查圆的相关基础概念，解题的关键是牢记确定圆的条件，尤其要注意“三点共线时无法作圆”这一特殊情况，概念记忆不清是本题的主要失分原因。
【难度系数】
0.7

2.三角形的外心是（）

A.三条中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条边的垂直平分线的交点
D.三条高的交点

2.C

【分析】
这道题考查三角形特殊交点的概念辨析，解题时可先回忆三角形各类常见特殊交点的定义，再逐一匹配选项：首先明确外心是三角形外接圆的圆心，核心特征是到三角形三个顶点的距离相等，结合线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质，可推导出外心是三边垂直平分线的交点，再逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A. 三角形三条中线的交点是三角形的重心，不符合外心的定义，排除；
B. 三角形三条角平分线的交点是三角形的内心（内切圆的圆心），不符合外心的定义，排除；
C. 三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，是三角形外接圆的圆心，即外心，该选项正确；
D. 三角形三条高的交点是三角形的垂心，不符合外心的定义，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 外心的定义
2. 线段垂直平分线的性质
3. 三角形特殊交点辨析
【点评】
本题属于基础概念题，主要考察对三角形几类特殊交点的定义识记与区分，难度较低，熟练掌握各特殊点的核心特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9

3.如果一个三角形的外心在这个三角形的一边上，那么这个三角形是 （）

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定

3.B

【分析】
解题时首先回忆三角形外心的定义与性质：外心是三角形外接圆的圆心，是三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等。接下来分析外心在三角形边上的特征：外心在某条边上时，这条边的中点就是外心，说明这条边是外接圆的直径，再结合直径所对圆周角为直角的性质，就能判断三角形的形状。
【解析】
解：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，为三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等。
若外心落在三角形的一条边上，则这条边的中点就是外心，即这条边是该三角形外接圆的直径。
根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，可知这条边所对的三角形内角为直角，因此这个三角形是直角三角形。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外心的定义；圆周角定理
【点评】
本题是基础概念应用题，除了通过推导得出结论外，也可直接记忆不同类型三角形外心的位置规律：锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部，可快速完成判断。
【难度系数】
0.8

4.如图所示，正方形网格中的每个小正方形的边长都相等.$△ ABC$的三个顶点$A$，$B$，$C$都在格点上.若格点$D$(点$D$与点$A$，$B$，$C$均不重合)在$△ ABC$外接圆上，则图中符合条件的点$D$有个.

4.5

【分析】
首先观察网格可判断△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，根据直角三角形外接圆的性质，其外接圆直径为斜边AC，圆心是AC的中点。我们可以通过建立平面直角坐标系求出外接圆的方程，再寻找满足方程的格点，排除A、B、C三个点后即可得到符合条件的点D的个数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，以点B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则$A(0,1)$，$B(0,0)$，$C(3,0)$。
∵$∠ ABC=90°$，
∴△ABC的外接圆直径为斜边AC，外接圆圆心为AC的中点，坐标为$(\frac{0+3}{2},\frac{1+0}{2})=(1.5,0.5)$，半径$r=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{(3-0)^2+(0-1)^2}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，因此外接圆的方程为$(x-1.5)^2+(y-0.5)^2=2.5$。
寻找满足该方程的整数格点（排除A、B、C三点）：
1. 当$x=1$时，代入方程解得$y=2$或$y=-1$，对应格点$(1,2)$、$(1,-1)$；
2. 当$x=2$时，代入方程解得$y=2$或$y=-1$，对应格点$(2,2)$、$(2,-1)$；
3. 当$x=3$时，代入方程解得$y=0$（对应点C，排除）或$y=1$，对应格点$(3,1)$。
综上符合条件的格点D共有5个。
【答案】
5
【知识点】
直角三角形外接圆性质；点与圆的位置关系；圆周角定理
【点评】
本题结合网格考查圆的相关性质，解题关键是利用直角三角形外接圆的特点确定外接圆的位置，通过坐标系找格点时注意不要遗漏，同时要排除题目要求不重合的三个顶点。
【难度系数】
0.6

5.平面直角坐标系内的三个点A(1,−3),B(0,−3),C(2,−3),确定一个圆.
（填“能”或“不能”）

5.不能

【分析】
解题首先要回忆确定圆的条件：不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，因此本题核心是判断A、B、C三点是否共线。观察三个点的坐标，纵坐标均为-3，可推出三点都在直线y=-3上，属于共线的三个点，因此不符合确定圆的前提条件，即可得出结论。
【解析】
解：首先观察三个点的坐标特征：
点A(1,-3)、B(0,-3)、C(2,-3)的纵坐标均为-3，因此这三个点都在直线$y=-3$上，即A、B、C三点共线。
根据圆的确定定理：不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，因此共线的三个点不能确定一个圆。
【答案】
不能
【知识点】
确定圆的条件；点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查对确定圆的条件的理解，解题关键是能通过点的坐标特征快速判断三点是否共线，要注意“三个点确定一个圆”的前提是三点不共线，避免遗漏前提条件出错。
【难度系数】
0.9

6.如图，已知直线$ l $和$ A $，$ B $两点，求作经过$ A $，$ B $两点的圆，使圆心在直线$ l $上。

6.解:如图所示,⊙O即为所求.

【分析】
要作出经过A、B两点且圆心在直线l上的圆，需先确定圆心位置：根据圆的性质，圆心到圆上各点距离相等，因此经过A、B两点的圆的圆心到A、B的距离相等，即圆心在线段AB的垂直平分线上；又因为题目要求圆心在直线l上，所以两条线的交点即为圆心。确定圆心后，以圆心到A（或B）的距离为半径作圆即可。
【解析】
步骤1：连接线段AB；
步骤2：利用尺规作线段AB的垂直平分线，该垂直平分线与直线l相交于点O；
步骤3：以O为圆心，OA（或OB）的长度为半径作圆，得到的⊙O就是所求作的圆。
【答案】
如图所示,⊙O即为所求.
【知识点】
垂直平分线的性质；圆的定义；尺规作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，解题关键是结合圆心需要满足的两个条件，通过求线段垂直平分线与已知直线的交点确定圆心，考查了对圆的基本性质的应用和基本作图能力。
【难度系数】
0.8