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如图,在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上取点P,Q,分别向x轴、y轴作垂线,围成面积分别为$S_1,S_2$的矩形.
问题1:如图,在$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上,过点$P(x,y)$作x轴、y轴的垂线PM,PN,分别交x轴、y轴于点M,N,则矩形PMON的面积$S_1=PM·\_\_\_\_\_\_=|y|·\_\_\_\_\_\_=$.因为$y=\frac{k}{x}$,所以$k=$,所以$S_1=$.
问题2:根据$S_1$的求解过程求出$S_2,S_1,S_2$与k之间有什么关系?从图象上任意一点向x轴、y轴分别作垂线所围成的矩形的面积是
不是都满足这一关系？
问题1:如图,在$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上,过点$P(x,y)$作x轴、y轴的垂线PM,PN,分别交x轴、y轴于点M,N,则矩形PMON的面积$S_1=PM·\_\_\_\_\_\_=|y|·\_\_\_\_\_\_=$.因为$y=\frac{k}{x}$,所以$k=$,所以$S_1=$.
问题2:根据$S_1$的求解过程求出$S_2,S_1,S_2$与k之间有什么关系?从图象上任意一点向x轴、y轴分别作垂线所围成的矩形的面积是
不是都满足这一关系？
答案
问题1答案：PN、|x|、|xy|、xy、|k|
问题2：$S_2=|k|,S_1=S_2=|k|$.从图象上任意一点向x轴、y轴分别作垂线所围成的矩形的面积都满足这一关系.
问题2：$S_2=|k|,S_1=S_2=|k|$.从图象上任意一点向x轴、y轴分别作垂线所围成的矩形的面积都满足这一关系.
解析
【分析】
解决本题首先要结合点的坐标的几何意义：平面直角坐标系中点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值。问题1先根据矩形面积公式确定邻边长度，再结合反比例函数的表达式推导面积和k的关系；问题2类比S₁的推导方法，对Q点对应的S₂进行计算，再推广到反比例函数图象上的任意点即可得到通用结论。
【解析】
问题1求解：
矩形PMON的两条邻边分别为垂直x轴的PM、垂直y轴的PN，因此矩形面积$S_1=PM·PN$。
其中PM是点P到x轴的距离，即$PM=|y|$；PN是点P到y轴的距离，即$PN=|x|$，代入得$S_1=|y|·|x|=|xy|$。
由反比例函数表达式$y=\frac{k}{x}$，两边同乘x可得$k=xy$，因此$S_1=|xy|=|k|$。
问题2求解：
设点Q的坐标为$(x',y')$，因Q在反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上，故$x'y'=k$。
S₂是点Q向x轴、y轴作垂线围成的矩形面积，同理可得$S_2=|x'|·|y'|=|x'y'|=|k|$，因此$S_1=S_2=|k|$。
对于反比例函数图象上任意一点，设其坐标为$(a,b)$，均满足$ab=k$，则该点向x、y轴作垂线围成的矩形面积为$|a|·|b|=|ab|=|k|$，故所有这类矩形的面积都满足该关系。
【答案】
问题1：$\boldsymbol{PN}$、$\boldsymbol{|x|}$、$\boldsymbol{|xy|}$、$\boldsymbol{xy}$、$\boldsymbol{|k|}$
问题2：$\boldsymbol{S_2=|k|,S_1=S_2=|k|}$，从图象上任意一点向x轴、y轴分别作垂线所围成的矩形的面积都满足这一关系。
【知识点】
反比例函数k的几何意义；矩形面积计算；反比例函数的性质
【点评】
本题是反比例函数核心性质的基础推导题，清晰呈现了k的几何意义的来源，掌握该结论可快速解决反比例函数相关的面积类题型，是反比例函数与几何综合题的重要基础。
【难度系数】
0.85
解决本题首先要结合点的坐标的几何意义：平面直角坐标系中点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值。问题1先根据矩形面积公式确定邻边长度，再结合反比例函数的表达式推导面积和k的关系；问题2类比S₁的推导方法，对Q点对应的S₂进行计算，再推广到反比例函数图象上的任意点即可得到通用结论。
【解析】
问题1求解：
矩形PMON的两条邻边分别为垂直x轴的PM、垂直y轴的PN，因此矩形面积$S_1=PM·PN$。
其中PM是点P到x轴的距离，即$PM=|y|$；PN是点P到y轴的距离，即$PN=|x|$，代入得$S_1=|y|·|x|=|xy|$。
由反比例函数表达式$y=\frac{k}{x}$，两边同乘x可得$k=xy$，因此$S_1=|xy|=|k|$。
问题2求解：
设点Q的坐标为$(x',y')$，因Q在反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上，故$x'y'=k$。
S₂是点Q向x轴、y轴作垂线围成的矩形面积，同理可得$S_2=|x'|·|y'|=|x'y'|=|k|$，因此$S_1=S_2=|k|$。
对于反比例函数图象上任意一点，设其坐标为$(a,b)$，均满足$ab=k$，则该点向x、y轴作垂线围成的矩形面积为$|a|·|b|=|ab|=|k|$，故所有这类矩形的面积都满足该关系。
【答案】
问题1：$\boldsymbol{PN}$、$\boldsymbol{|x|}$、$\boldsymbol{|xy|}$、$\boldsymbol{xy}$、$\boldsymbol{|k|}$
问题2：$\boldsymbol{S_2=|k|,S_1=S_2=|k|}$，从图象上任意一点向x轴、y轴分别作垂线所围成的矩形的面积都满足这一关系。
【知识点】
反比例函数k的几何意义；矩形面积计算；反比例函数的性质
【点评】
本题是反比例函数核心性质的基础推导题，清晰呈现了k的几何意义的来源，掌握该结论可快速解决反比例函数相关的面积类题型，是反比例函数与几何综合题的重要基础。
【难度系数】
0.85
问题3:类似地,如图,在$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上任取一点E,作$EF⊥y$轴于点F,连接OE,则$S_{△ OEF}=\frac{1}{2}EF· OF$,若点E的坐标为$(a,b)$,则$S_{△ OEF}=\frac{1}{2}$
|a|·|b|
=$\frac{|k|}{2}$
.答案
$|a|·|b|$，$\frac{|k|}{2}$
解析
【分析】
解题时可按两步思考：第一步，先明确线段长度与点坐标的关系：EF是点E到y轴的水平距离，等于E点横坐标的绝对值；OF是点F到原点的距离，等于E点纵坐标的绝对值，代入面积公式即可得到用a、b表示的面积。第二步，结合反比例函数的性质：反比例函数图象上的点的横、纵坐标的乘积等于k，将ab替换为k，同时考虑面积为非负数，即可得到用k表示的面积。
【解析】
解：已知点E的坐标为$(a,b)$，$EF ⊥ y$轴于点F：
1. 线段长度转换：EF是点E到y轴的距离，故$EF=|a|$；F在y轴上，坐标为$(0,b)$，OF是原点到F的距离，故$OF=|b|$。
代入三角形面积公式得：
$S_{△ OEF}=\frac{1}{2}EF · OF = \frac{1}{2}|a| · |b|$
2. 结合反比例函数性质推导：
因为点$E(a,b)$在$y=\frac{k}{x}(k ≠ 0)$的图象上，将E点坐标代入解析式得$b=\frac{k}{a}$，变形可得$ab=k$，因此$|a| · |b|=|ab|=|k|$。
代入面积表达式得：$S_{△ OEF}=\frac{1}{2}|k|$
【答案】
$|a|·|b|$，$\frac{|k|}{2}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，三角形面积计算，坐标与线段长度
【点评】
本题是反比例函数几何性质的基础推导题，重点考查坐标的几何含义以及反比例函数表达式的变形应用，推导得到的三角形面积结论是反比例函数章节的核心常用结论，掌握该结论可大幅提升相关几何综合题的解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时可按两步思考：第一步，先明确线段长度与点坐标的关系：EF是点E到y轴的水平距离，等于E点横坐标的绝对值；OF是点F到原点的距离，等于E点纵坐标的绝对值，代入面积公式即可得到用a、b表示的面积。第二步，结合反比例函数的性质：反比例函数图象上的点的横、纵坐标的乘积等于k，将ab替换为k，同时考虑面积为非负数，即可得到用k表示的面积。
【解析】
解：已知点E的坐标为$(a,b)$，$EF ⊥ y$轴于点F：
1. 线段长度转换：EF是点E到y轴的距离，故$EF=|a|$；F在y轴上，坐标为$(0,b)$，OF是原点到F的距离，故$OF=|b|$。
代入三角形面积公式得：
$S_{△ OEF}=\frac{1}{2}EF · OF = \frac{1}{2}|a| · |b|$
2. 结合反比例函数性质推导：
因为点$E(a,b)$在$y=\frac{k}{x}(k ≠ 0)$的图象上，将E点坐标代入解析式得$b=\frac{k}{a}$，变形可得$ab=k$，因此$|a| · |b|=|ab|=|k|$。
代入面积表达式得：$S_{△ OEF}=\frac{1}{2}|k|$
【答案】
$|a|·|b|$，$\frac{|k|}{2}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，三角形面积计算，坐标与线段长度
【点评】
本题是反比例函数几何性质的基础推导题，重点考查坐标的几何含义以及反比例函数表达式的变形应用，推导得到的三角形面积结论是反比例函数章节的核心常用结论，掌握该结论可大幅提升相关几何综合题的解题效率。
【难度系数】
0.8
1.过双曲线$y=\frac{k}{x}$上任意一点作$x$轴、$y$轴的垂线，两条垂线段与$x$轴、$y$轴所围成的矩形的面积为
$|k|$
。答案
$|k|$
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以先设出双曲线上任意一点的坐标，结合反比例函数的解析式得到横、纵坐标的乘积与k的关系；再根据坐标的几何意义，明确该点到x轴、y轴的距离就是矩形的两条边长，最后通过面积公式计算即可得到结果，注意面积为非负数，要对k取绝对值。
【解析】
设双曲线$y=\frac{k}{x}$上任意一点的坐标为$(x,y)$。
∵ 点$(x,y)$在反比例函数图象上，
∴ 将点坐标代入解析式得：$y=\frac{k}{x}$，变形可得$xy = k$。
过该点作x轴的垂线，垂线段的长度为该点纵坐标的绝对值，即$|y|$；作y轴的垂线，垂线段的长度为该点横坐标的绝对值，即$|x|$。
∴ 围成的矩形面积 = 长×宽 = $|x| · |y| = |xy|$，
将$xy=k$代入得：矩形面积 = $|k|$。
【答案】
$\boldsymbol{|k|}$
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义 2.坐标的几何意义
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查反比例函数中参数k的几何意义，该结论是解决反比例函数相关面积问题的常用依据，解题时需注意面积为非负数，不要遗漏绝对值符号。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以先设出双曲线上任意一点的坐标，结合反比例函数的解析式得到横、纵坐标的乘积与k的关系；再根据坐标的几何意义，明确该点到x轴、y轴的距离就是矩形的两条边长，最后通过面积公式计算即可得到结果，注意面积为非负数，要对k取绝对值。
【解析】
设双曲线$y=\frac{k}{x}$上任意一点的坐标为$(x,y)$。
∵ 点$(x,y)$在反比例函数图象上，
∴ 将点坐标代入解析式得：$y=\frac{k}{x}$，变形可得$xy = k$。
过该点作x轴的垂线，垂线段的长度为该点纵坐标的绝对值，即$|y|$；作y轴的垂线，垂线段的长度为该点横坐标的绝对值，即$|x|$。
∴ 围成的矩形面积 = 长×宽 = $|x| · |y| = |xy|$，
将$xy=k$代入得：矩形面积 = $|k|$。
【答案】
$\boldsymbol{|k|}$
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义 2.坐标的几何意义
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查反比例函数中参数k的几何意义，该结论是解决反比例函数相关面积问题的常用依据，解题时需注意面积为非负数，不要遗漏绝对值符号。
【难度系数】
0.8
2.过双曲线$y=\frac{k}{x}$上任意一点作一坐标轴的垂线，并连接该点与原点，所围成的三角形的面积为
$\frac{|k|}{2}$
.答案
$\frac{|k|}{2}$
解析
【分析】
我们可以通过设点推导的思路解题：首先设出双曲线上任意一点的坐标，利用反比例函数的解析式得到该点横、纵坐标的乘积关系，再结合直角三角形的面积公式计算即可，注意坐标可正可负，但面积为非负数，因此计算时要添加绝对值符号。
【解析】
设双曲线$y=\frac{k}{x}$上任意一点$P$的坐标为$(x,y)$。
因为点$P$在双曲线上，将坐标代入解析式可得$y=\frac{k}{x}$，变形得$xy=k$。
若过点$P$作$x$轴的垂线，垂足为$M$，则直角边$OM=|x|$，$PM=|y|$，
所得直角三角形$OPM$的面积$S=\frac{1}{2}× OM× PM=\frac{1}{2}|x|·|y|=\frac{1}{2}|xy|$，
将$xy=k$代入可得$S=\frac{1}{2}|k|$。
同理，过点$P$作$y$轴的垂线，围成的三角形面积同样为$\frac{1}{2}|k|$。
【答案】
$\frac{|k|}{2}$
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查反比例函数系数$k$的几何意义，熟练掌握该性质可以快速解决反比例函数相关的面积类问题。
【难度系数】
0.8
我们可以通过设点推导的思路解题：首先设出双曲线上任意一点的坐标，利用反比例函数的解析式得到该点横、纵坐标的乘积关系，再结合直角三角形的面积公式计算即可，注意坐标可正可负，但面积为非负数，因此计算时要添加绝对值符号。
【解析】
设双曲线$y=\frac{k}{x}$上任意一点$P$的坐标为$(x,y)$。
因为点$P$在双曲线上，将坐标代入解析式可得$y=\frac{k}{x}$，变形得$xy=k$。
若过点$P$作$x$轴的垂线，垂足为$M$，则直角边$OM=|x|$，$PM=|y|$，
所得直角三角形$OPM$的面积$S=\frac{1}{2}× OM× PM=\frac{1}{2}|x|·|y|=\frac{1}{2}|xy|$，
将$xy=k$代入可得$S=\frac{1}{2}|k|$。
同理，过点$P$作$y$轴的垂线，围成的三角形面积同样为$\frac{1}{2}|k|$。
【答案】
$\frac{|k|}{2}$
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查反比例函数系数$k$的几何意义，熟练掌握该性质可以快速解决反比例函数相关的面积类问题。
【难度系数】
0.8
