概念建构
有理数的乘方
定义
求n个相同乘数的的运算叫作乘方. 乘方的结果叫作.
记作$a^n$，读作，a叫作，n叫作
符号规律
负数的奇次幂是，
负数的偶次幂是，
正数的任何正整数次幂都是，
0的任何正整数次幂都是

积;幂;$a$的$n$次方;底数;指数;负数;正数;正数;0

【分析】
本题考查有理数乘方的基础概念与符号规律，属于识记类基础题。解题时只需回忆教材中乘方的相关定义、各部分名称及符号规律，依次对应空缺位置填写即可，注意区分易混淆的概念如底数与指数、负数奇偶次幂的符号特点。
【解析】
根据乘方的定义：求n个相同乘数的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂；
乘方的记法与读法：$a^n$读作$a$的$n$次方，其中$a$叫作底数，$n$叫作指数；
根据乘方的符号规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何正整数次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
依次对应填入空缺即可。
【答案】
积;幂;$a$的$n$次方;底数;指数;负数;正数;正数;0
【知识点】
乘方的定义；乘方的相关概念；乘方的符号规律
【点评】
本题是乘方模块的基础概念考查题，相关内容是开展乘方运算、有理数混合运算的必备基础，需要准确识记，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9

1. 把$(-\dfrac{1}{5})×(-\dfrac{1}{5})×(-\dfrac{1}{5})×(-\dfrac{1}{5})$写成乘方的形式是，底数是，指数是。

1.$(-\dfrac{1}{5})^4$;$-\dfrac{1}{5}$;4

【分析】
要解决这道题，首先回忆乘方的基本定义：n个相同的因数a相乘的运算叫做乘方，记作$a^n$，其中a叫做底数，n叫做指数。本题是4个完全相同的因数$-\dfrac{1}{5}$相乘，只需把相同的因数作为底数，相同因数的个数作为指数即可写出乘方形式，要注意因数本身带负号，底数需包含负号，书写时要给$-\dfrac{1}{5}$加括号，避免符号错误。
【解析】
根据乘方的定义，n个相同因数a相乘记作$a^n$：
1. 本题中是4个$-\dfrac{1}{5}$相乘，因此乘方形式为$(-\dfrac{1}{5})^4$；
2. 其中相同的因数是$-\dfrac{1}{5}$，即底数为$-\dfrac{1}{5}$；
3. 相同因数的个数是4，即指数为4。
【答案】
$(-\dfrac{1}{5})^4$;$-\dfrac{1}{5}$;4
【知识点】
1. 乘方的定义
2. 底数与指数识别
【点评】
本题是乘方的基础题型，重点考查对乘方定义的理解，易错点是当底数为负数或分数时，未给底数加括号导致符号或运算顺序错误，学习时要注意区分$(-a)^n$和$-a^n$的不同含义。
【难度系数】
0.85

2. $-4^3$表示 ()

A.3个－4相乘
B.3个4相乘的相反数
C.4个－3相乘
D.4个3相乘的相反数

2.B

【分析】
首先明确乘方的定义：$a^n$表示n个a相乘，解题时要重点区分$-a^n$与$(-a)^n$的差异：前者底数是a，先算乘方再取相反数；后者底数是$-a$，表示n个$-a$相乘。本题中$-4^3$没有括号，底数是4，先计算$4^3$（3个4相乘），再添负号就是这个结果的相反数，再逐一匹配选项即可得到正确答案。
【解析】
根据乘方的定义分析：
1. 确定$-4^3$的运算顺序：先算乘方，再算符号，其中乘方部分的底数为4，指数为3，因此$4^3$表示3个4相乘，$-4^3$就是3个4相乘的相反数。
2. 逐一判断选项：
A选项：3个-4相乘表示为$(-4)^3$，与$-4^3$不相等，错误；
B选项：3个4相乘的相反数表示为$-4^3$，符合题意，正确；
C选项：4个-3相乘表示为$(-3)^4$，与题干式子不符，错误；
D选项：4个3相乘的相反数表示为$-3^4$，与题干式子不符，错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
乘方的意义；有理数乘方运算
【点评】
本题是乘方部分的基础易错题，核心考查对乘方底数的区分，解题关键是明确带括号和不带括号的乘方运算的区别，牢记运算顺序，避免混淆底数导致出错。
【难度系数】
0.7

3.计算$(-\dfrac{1}{3})^3$的结果是 ()

A.$-1$
B.$-\dfrac{1}{9}$
C.$-\dfrac{1}{27}$
D.$\dfrac{1}{27}$

3.C

【分析】
本题考查有理数的乘方运算，解题思路可分为三步：第一步回忆乘方的定义，$a^n$表示$n$个$a$相乘，因此可将乘方运算转化为乘法运算；第二步根据有理数乘法的符号规律判断结果符号，负数的奇次幂为负，本题指数3是奇数，因此结果为负数；第三步计算数值部分，最后结合符号得到最终结果，对应正确选项即可。
【解析】
根据乘方的定义可得：
$(-\dfrac{1}{3})^3 = (-\dfrac{1}{3}) × (-\dfrac{1}{3}) × (-\dfrac{1}{3})$
先计算前两个因数的乘积：$(-\dfrac{1}{3}) × (-\dfrac{1}{3}) = \dfrac{1}{9}$
再计算和第三个因数的乘积：$\dfrac{1}{9} × (-\dfrac{1}{3}) = -\dfrac{1}{27}$
因此运算结果为$-\dfrac{1}{27}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.乘方的定义 2.有理数乘法运算
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，重点考查对乘方意义的理解和负数幂的符号判断，解题时注意先确定结果符号再计算绝对值部分，可有效避免符号或指数混淆类的错误。
【难度系数】
0.9

4.填空：
(1)$-3^2=$;(2)$-(-2)^5=$;
(3)$(-1\ \frac{2}{3})^3=$;(4)$-\frac{3^2}{4}=$.

4.(1)$-9$ (2)$32$ (3)$-\dfrac{125}{27}$ (4)$-\dfrac{9}{4}$

【分析】
解决这类乘方运算题，首先要明确核心运算规则：一是运算优先级，乘方的运算优先级高于负号，要注意区分带括号的负数乘方和不带括号的负的有理数乘方；二是有理数乘方符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数。遇到带分数的乘方，要先把带分数化为假分数再计算，分数乘方需分子分母分别乘方。我们逐题梳理思路：
(1) 先算3的平方，再添加负号即可；
(2) 先算(-2)的5次幂，再求这个结果的相反数；
(3) 先把带分数化为假分数，再结合负数乘方规则和分数乘方规则计算；
(4) 先算分子中3的平方，再结合整体的负号得到结果。
【解析】
按照乘方运算规则逐题计算：
(1) 先计算乘方得$3^2=9$，再添加负号，因此$-3^2=-9$；
(2) 先计算$(-2)^5$：5是奇数，负数的奇次幂为负，且$2^5=32$，因此$(-2)^5=-32$，再取相反数得$-(-32)=32$；
(3) 先将带分数化为假分数：$-1\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$，再计算乘方：$(-\frac{5}{3})^3$是负数的奇次幂，结果为负，分子$5^3=125$，分母$3^3=27$，因此结果为$-\frac{125}{27}$；
(4) 先计算分子的乘方得$3^2=9$，负号在整个分数前，因此$-\frac{3^2}{4}=-\frac{9}{4}$。
【答案】
(1)$-9$ (2)$32$ (3)$-\dfrac{125}{27}$ (4)$-\dfrac{9}{4}$
【知识点】
乘方运算规则，有理数乘方符号法则，带分数乘方运算
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，易错点在于混淆带括号和不带括号的负数乘方的符号，以及计算带分数乘方时忘记先化为假分数，计算时要严格遵循运算顺序和符号法则，避免低级错误。
【难度系数】
0.8

5.用计算器计算：
(1)$(-12)^5 =$；
(2)$4.6^3 =$.

5.(1)$-248\ 832$ (2)$97.336$

【分析】
解题时先明确乘方的意义：$a^n$表示$n$个$a$相乘，再结合有理数乘方的符号法则判断结果符号，最后正确操作计算器计算数值即可。对于第(1)题，先判断$(-12)$的5次幂是负数的奇次幂，结果为负，再计算12的5次幂后加负号；第(2)题是正数的乘方，结果为正，直接计算3个4.6相乘的结果即可，操作计算器时注意输入规范，避免按键错误。
【解析】
(1) 根据乘方定义，$(-12)^5$表示5个$-12$相乘，由有理数乘方符号法则：负数的奇次幂是负数，可知结果为负。
计算数值部分：$12^5=12×12×12×12×12=248832$，因此$(-12)^5=-248832$。
也可通过计算器操作：依次输入「(」「-」「12」「)」「^」「5」「=」，直接得到结果$-248832$。
(2) $4.6^3$表示3个$4.6$相乘，正数的任何次幂都是正数，直接计算：
$4.6×4.6=21.16$，$21.16×4.6=97.336$。
也可通过计算器操作：依次输入「4.6」「^」「3」「=」，直接得到结果$97.336$。
【答案】
(1)$-248832$；(2)$97.336$
【知识点】
1. 乘方的运算 2. 计算器的使用
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查乘方的基本概念和计算器的规范操作，做题时要注意负数乘方输入时需加括号，避免与乘方的相反数混淆，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.9

6. [2026安庆期中]计算： = ()

A.$\frac{3^m}{2n}$
B.$\frac{3m}{2^n}$
C.$\frac{3m}{n^2}$
D.$\frac{m^3}{2n}$

6.A

【分析】
这道题考查乘方的概念和整式化简运算，解题思路如下：首先明确乘方的表示规则，再观察运算式的结构，对分子分母中相同底数的幂运用同底数幂的除法法则运算，最后约分即可得到最简结果，对应选项选出答案即可。
【解析】
假设原式为$\frac{3^m · n}{2n^2}$，运算步骤如下：
1. 处理分子分母的同底数幂$n$：根据同底数幂的除法法则，$n÷ n^2 = n^{1-2}=\frac{1}{n}$
2. 整理剩余部分：将$3^m$、系数2和化简后的$\frac{1}{n}$合并，可得$\frac{3^m}{2n}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
乘方的意义、同底数幂的除法、分式约分
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查乘方相关的整式化简能力，只要熟练掌握同底数幂的运算法则和约分规则，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8

7. 新考法 观察下列算式：$2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32,2^6=64,2^7=128,2^8=256,···$. 根据上述算式的规律，你认为$2^{20}$的末位数字是()

A.2
B.4
C.6
D.8

7.C

【分析】
要找$2^{20}$的末位数字，直接计算$2^{20}$数值过大，因此优先观察已知算式的规律：首先提取各个乘方结果的末位数字，可发现末位数字是循环出现的，先确定循环周期，再用指数除以周期，根据余数就能判断$2^{20}$的末位数字，避免计算大数。
【解析】
1. 观察已知算式的末位数字：
$2^1$的末位数字是2，$2^2$的末位数字是4，$2^3$的末位数字是8，$2^4$的末位数字是6，$2^5$的末位数字是2……
可得规律：$2$的正整数次幂的末位数字以2、4、8、6这4个数字为1个周期循环出现，周期长度为4。
2. 计算指数与周期的商：
$20÷4=5$，计算结果没有余数，说明$2^{20}$的末位数字和周期中第4个数字相同，即和$2^4$的末位数字一致，为6。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
乘方的运算，数字规律探究
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，解题核心是通过观察已知运算结果总结出末位数字的循环周期，再结合除法运算判断对应位置的数字，解题方法通用性较强，可迁移到其他同类型的幂的末位数字求解问题中。
【难度系数】
0.8

8. 数学文化《庄子·天下》里提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完.一尺长的木棍一天之后剩$\frac{1}{2}$尺，两天之后剩$\frac{1}{4}$尺，那么6天之后，这根木棍还剩尺.

8.$\dfrac{1}{64}$

【分析】
解题时先从题目给出的1天、2天的剩余长度入手找规律：每天截去木棍的一半，说明每天剩余的长度是前一天剩余长度的$\frac{1}{2}$，由此可推出第n天剩余的木棍长度是$(\frac{1}{2})^n$尺，最后把n=6代入计算乘方即可得到结果。
【解析】
根据题意可知，每天剩余的木棍长度为前一天剩余长度的$\frac{1}{2}$：
1天之后剩余：$\frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^1$ 尺
2天之后剩余：$\frac{1}{2} × \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ 尺
以此类推，n天之后剩余的木棍长度为$(\frac{1}{2})^n$ 尺
当n=6时，剩余长度为：
$(\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$ 尺
【答案】
$\dfrac{1}{64}$
【知识点】
有理数乘方计算；数字规律探究；乘方实际应用
【点评】
本题结合传统数学文化考查乘方的应用，解题关键是通过已知的特殊情况归纳出剩余长度随天数变化的规律，再代入计算即可，注重对基础规律探究能力和乘方计算能力的考查。
【难度系数】
0.8

9. 类比思想类比有理数的乘方，我们把求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫作除方，记作$a^{\mathrm{ⓝ}}$，读作“$a$的圈$n$次方”.如$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$，记作$(-3)^{\mathrm{④}}$，读作“$-3$的圈$4$次方”，除方也可以转化为幂的形式，如$2^{\mathrm{④}}=2÷2÷2÷2=2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^2$.
(1)计算:$(-2)^{\mathrm{③}}$;
(2)将非零有理数$a^{\mathrm{ⓝ}}$写成幂的形式($n≥3$).

9.解：(1)$(-2)^{\mathrm{③}}=(-2)÷(-2)÷(-2)=1÷(-2)=-\dfrac{1}{2}.$
(2)$a^{\mathrm{ⓝ}}=\underbrace{a÷ a÷···÷ a}_{n个}=\underbrace{1×\dfrac{1}{a}×···×\dfrac{1}{a}}_{(n-2)个}=(\dfrac{1}{a})^{n-2}(n≥3).$

【分析】
本题是新定义类题型，首先要准确理解“除方”的定义：a的圈n次方表示n个相同的非零有理数a连续相除。解决第(1)问时，直接将$(-2)^{\mathrm{③}}$按照定义转化为3个-2的连续除法运算，按顺序计算即可；解决第(2)问时，先利用“除以一个数等于乘这个数的倒数”将除法运算转化为乘法运算，再结合乘方的意义整理成幂的形式即可。
【解析】
(1) 根据除方的定义可得：
$(-2)^{\mathrm{③}}=(-2)÷(-2)÷(-2)$
先计算前两个数的除法：$(-2)÷(-2)=1$
再计算剩余除法：$1÷(-2)=-\dfrac{1}{2}$
(2) 对于非零有理数$a^{\mathrm{ⓝ}}$（$n≥3$），根据定义是n个a连续相除：
$a^{\mathrm{ⓝ}}=\underbrace{a÷ a÷···÷ a}_{n个}$
将除法转化为乘法（除以a等于乘$\dfrac{1}{a}$）：
$=a×\dfrac{1}{a}×\dfrac{1}{a}×···×\dfrac{1}{a}$
其中$a×\dfrac{1}{a}=1$，剩余$(n-2)$个$\dfrac{1}{a}$相乘，根据乘方的意义可得：
$=(\dfrac{1}{a})^{n-2}（n≥3）$
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{2}$；(2) $(\dfrac{1}{a})^{n-2}（n≥3）$
【知识点】
新定义运算，有理数除法法则，乘方的意义
【点评】
本题属于新定义迁移题，核心是将陌生的除方运算转化为已经学过的除法、乘方运算，侧重考查对新概念的理解能力和知识迁移运用能力，只要准确读懂定义，结合已有知识计算即可顺利解题。
【难度系数】
0.75