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9 分类讨论思想 [2026 海门段测]如图，$△ ABC$ 绕着顶点 $A$ 逆时针旋转到$△ ADE$ 的位置，$∠ B=40°,∠ BAC=80°.$
(1) 求$∠ E$ 的度数；
(2) 当 $AB// DE$ 时，求$∠ DAC$ 的度数.
(1) 求$∠ E$ 的度数；
(2) 当 $AB// DE$ 时，求$∠ DAC$ 的度数.
答案
9. (1)
∵ △ABC绕着顶点A逆时针旋转到△ADE的位置，
∴ △ABC≌△ADE.
∴ ∠C=∠E.
∵ ∠B=40°,∠BAC=80°,
∴ ∠C=180°−40°−80°=60°.
∴ ∠E=60°
(2)
∵ △ABC≌△ADE,
∴ ∠B=∠D=40°.当DE在AB下方时,
∵ AB//DE,
∴ ∠BAD=∠D=40°.
∴ ∠DAC=∠BAC−∠BAD=80°−40°=40°.当DE在AB上方时,如图.
∵ AB//DE,
∴ ∠D+∠BAD=180°.
∴ ∠BAD=140°.
∴ ∠DAC=360°−∠BAD−∠BAC=360°−140°−80°=140°.综上所述,∠DAC的度数为40°或140°
（第9题）
解析
【分析】
本题考查旋转的性质、平行线的性质及分类讨论思想。解题思路：(1) 利用旋转前后三角形全等，对应角相等，先通过三角形内角和算出△ABC中∠C的度数，即可得到对应角∠E的度数；(2) 由旋转得∠D=∠B，结合AB//DE，根据平行线的角的关系，分DE在AB下方、上方两种情况，分别计算∠BAD，再结合角的和差求出∠DAC，注意分类讨论避免漏解。
【解析】
(1)
∵ △ABC绕顶点A逆时针旋转到△ADE的位置，
∴ △ABC ≌ △ADE，
∴ ∠E = ∠C（全等三角形对应角相等）。
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠C = 180° - ∠B - ∠BAC = 180° - 40° - 80° = 60°，
∴ ∠E = 60°。
(2) 由△ABC ≌ △ADE，得∠D = ∠B = 40°，
∵ AB // DE，分两种情况讨论：
① 当DE在AB下方时，
∵ AB // DE，
∴ ∠BAD = ∠D = 40°（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠DAC = ∠BAC - ∠BAD = 80° - 40° = 40°；
② 当DE在AB上方时，
∵ AB // DE，
∴ ∠D + ∠BAD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠BAD = 180° - 40° = 140°，
∴ ∠DAC = 360° - ∠BAD - ∠BAC = 360° - 140° - 80° = 140°。
综上，∠DAC的度数为40°或140°。
【答案】
(1)∠E=60°；(2)∠DAC=40°或140°
【知识点】
旋转的性质、平行线的性质、分类讨论思想
【点评】
本题结合旋转的性质，利用三角形内角和、平行线的性质求解，重点考查分类讨论思想，需注意旋转后图形的不同位置，避免漏解，是几何综合题的常见题型。
【难度系数】
0.5
本题考查旋转的性质、平行线的性质及分类讨论思想。解题思路：(1) 利用旋转前后三角形全等，对应角相等，先通过三角形内角和算出△ABC中∠C的度数，即可得到对应角∠E的度数；(2) 由旋转得∠D=∠B，结合AB//DE，根据平行线的角的关系，分DE在AB下方、上方两种情况，分别计算∠BAD，再结合角的和差求出∠DAC，注意分类讨论避免漏解。
【解析】
(1)
∵ △ABC绕顶点A逆时针旋转到△ADE的位置，
∴ △ABC ≌ △ADE，
∴ ∠E = ∠C（全等三角形对应角相等）。
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠C = 180° - ∠B - ∠BAC = 180° - 40° - 80° = 60°，
∴ ∠E = 60°。
(2) 由△ABC ≌ △ADE，得∠D = ∠B = 40°，
∵ AB // DE，分两种情况讨论：
① 当DE在AB下方时，
∵ AB // DE，
∴ ∠BAD = ∠D = 40°（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠DAC = ∠BAC - ∠BAD = 80° - 40° = 40°；
② 当DE在AB上方时，
∵ AB // DE，
∴ ∠D + ∠BAD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠BAD = 180° - 40° = 140°，
∴ ∠DAC = 360° - ∠BAD - ∠BAC = 360° - 140° - 80° = 140°。
综上，∠DAC的度数为40°或140°。
【答案】
(1)∠E=60°；(2)∠DAC=40°或140°
【知识点】
旋转的性质、平行线的性质、分类讨论思想
【点评】
本题结合旋转的性质，利用三角形内角和、平行线的性质求解，重点考查分类讨论思想，需注意旋转后图形的不同位置，避免漏解，是几何综合题的常见题型。
【难度系数】
0.5
10 如图①,将一个边长为 2 的正方形 $ABCD$ 和一个长为 2、宽为 1 的小矩形 $CEFD$ 拼在一起,构成一个大的矩形 $ABEF$. 现将小矩形 $CEFD$ 绕点 $C$ 按顺时针方向旋转至矩形 $CE'F'D'$ 的位置,旋转角为 $α$.
(1) 当点 $D'$ 恰好落在边 $EF$ 上时,求旋转角 $α$ 的度数.
(2) 如图②,在(1)的条件下,$G$ 为 $BC$ 的中点,且 $0°＜α＜90°$,连接 $GD',E'D$. 求证:$GD'=E'D$.
(3) 在小矩形 $CEFD$ 绕点 $C$ 按顺时针方向旋转一周的过程中,$△ DCD'$ 与 $△ CBD'$ 能否全等? 若能,请直接写出旋转角 $α$ 的度数;若不能,请说明理由.
(1) 当点 $D'$ 恰好落在边 $EF$ 上时,求旋转角 $α$ 的度数.
(2) 如图②,在(1)的条件下,$G$ 为 $BC$ 的中点,且 $0°＜α＜90°$,连接 $GD',E'D$. 求证:$GD'=E'D$.
(3) 在小矩形 $CEFD$ 绕点 $C$ 按顺时针方向旋转一周的过程中,$△ DCD'$ 与 $△ CBD'$ 能否全等? 若能,请直接写出旋转角 $α$ 的度数;若不能,请说明理由.
答案
10. (1)
∵ 在矩形CEFD中,CD//EF,
∴ ∠CD'E=∠DCD'=α.取CD'的中点H,连接EH.
∵ 在矩形CEFD中,∠DCE=∠FEC=90°,
∴ EH=CH=1/2 CD'=1.
∴ CE=EH=CH=1.
∴ △CEH为等边三角形.
∴ ∠D'CE=60°.
∴ α=90°−60°=30°
(2) 由旋转,得CD'=CD,CE'=CE=1.
∵ G为BC的中点,
∴ CG=BG=1/2 BC=1.
∴ CG=CE'.
∵ 在正方形ABCD中,∠DCG=90°,在矩形CE'F'D'中,∠D'CE'=90°,
∴ ∠D'CG=∠DCG+∠DCD'=90°+α,∠DCE'=∠D'CE'+∠DCD'=90°+α.
∴ ∠D'CG=∠DCE'. 又
∵ CD'=CD,
∴ △GCD'≌△E'CD.
∴ GD'=E'D
(3) 能 α=135°或315°
∵ 在矩形CEFD中,CD//EF,
∴ ∠CD'E=∠DCD'=α.取CD'的中点H,连接EH.
∵ 在矩形CEFD中,∠DCE=∠FEC=90°,
∴ EH=CH=1/2 CD'=1.
∴ CE=EH=CH=1.
∴ △CEH为等边三角形.
∴ ∠D'CE=60°.
∴ α=90°−60°=30°
(2) 由旋转,得CD'=CD,CE'=CE=1.
∵ G为BC的中点,
∴ CG=BG=1/2 BC=1.
∴ CG=CE'.
∵ 在正方形ABCD中,∠DCG=90°,在矩形CE'F'D'中,∠D'CE'=90°,
∴ ∠D'CG=∠DCG+∠DCD'=90°+α,∠DCE'=∠D'CE'+∠DCD'=90°+α.
∴ ∠D'CG=∠DCE'. 又
∵ CD'=CD,
∴ △GCD'≌△E'CD.
∴ GD'=E'D
(3) 能 α=135°或315°
解析
【分析】
本题围绕矩形、正方形的旋转性质展开，分三小问逐步求解：
(1) 当点D'落在EF上时，利用旋转前后对应边相等（CD'=CD=2），结合矩形CEFD中CE=1，在Rt△CED'中求出∠CD'E的度数，再利用平行线的内错角相等得到旋转角α；
(2) 要证GD'=E'D，需证明△GCD'与△E'CD全等，通过旋转性质得到对应边相等，结合G是BC中点的条件，推导夹角相等，用SAS判定全等即可；
(3) 判断两三角形全等，结合已知边相等，分析旋转后夹角的关系，找到满足全等的旋转角。
【解析】
(1) 由旋转性质得：CD' = CD = 2，
∵ 矩形CEFD中，CE=1，∠CE'D'=90°，
∴ 在Rt△CED'中，CE=1，CD'=2，
∴ sin∠CD'E = CE/CD' = 1/2，故∠CD'E=30°，
又
∵ EF//CD，
∴ ∠DCD' = ∠CD'E=30°，即旋转角α=30°；
(2) 由旋转得：CD'=CD，CE'=CE=1，
∵ G为BC中点，BC=2，
∴ CG=BG=1，故CG=CE'，
∵ 正方形ABCD中∠DCG=90°，矩形CE'F'D'中∠D'CE'=90°，
∴ ∠D'CG = ∠DCG + ∠DCD' = 90°+α，
∠DCE' = ∠D'CE' + ∠DCD' =90°+α，
∴ ∠D'CG=∠DCE'，
在△GCD'和△E'CD中：
CD'=CD，∠D'CG=∠DCE'，CG=CE'，
∴ △GCD'≌△E'CD（SAS），故GD'=E'D；
(3) 能，当旋转角α=135°或315°时，△DCD'与△CBD'全等。
【答案】
(1) α=30°；(2) 证明见解析；(3) 能，α=135°或315°
【知识点】
图形旋转性质、全等三角形判定、矩形正方形性质
【点评】
本题综合考查旋转性质与全等三角形的判定，需熟练运用矩形、正方形的边和角特征，逐步推导边、角关系，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
本题围绕矩形、正方形的旋转性质展开，分三小问逐步求解：
(1) 当点D'落在EF上时，利用旋转前后对应边相等（CD'=CD=2），结合矩形CEFD中CE=1，在Rt△CED'中求出∠CD'E的度数，再利用平行线的内错角相等得到旋转角α；
(2) 要证GD'=E'D，需证明△GCD'与△E'CD全等，通过旋转性质得到对应边相等，结合G是BC中点的条件，推导夹角相等，用SAS判定全等即可；
(3) 判断两三角形全等，结合已知边相等，分析旋转后夹角的关系，找到满足全等的旋转角。
【解析】
(1) 由旋转性质得：CD' = CD = 2，
∵ 矩形CEFD中，CE=1，∠CE'D'=90°，
∴ 在Rt△CED'中，CE=1，CD'=2，
∴ sin∠CD'E = CE/CD' = 1/2，故∠CD'E=30°，
又
∵ EF//CD，
∴ ∠DCD' = ∠CD'E=30°，即旋转角α=30°；
(2) 由旋转得：CD'=CD，CE'=CE=1，
∵ G为BC中点，BC=2，
∴ CG=BG=1，故CG=CE'，
∵ 正方形ABCD中∠DCG=90°，矩形CE'F'D'中∠D'CE'=90°，
∴ ∠D'CG = ∠DCG + ∠DCD' = 90°+α，
∠DCE' = ∠D'CE' + ∠DCD' =90°+α，
∴ ∠D'CG=∠DCE'，
在△GCD'和△E'CD中：
CD'=CD，∠D'CG=∠DCE'，CG=CE'，
∴ △GCD'≌△E'CD（SAS），故GD'=E'D；
(3) 能，当旋转角α=135°或315°时，△DCD'与△CBD'全等。
【答案】
(1) α=30°；(2) 证明见解析；(3) 能，α=135°或315°
【知识点】
图形旋转性质、全等三角形判定、矩形正方形性质
【点评】
本题综合考查旋转性质与全等三角形的判定，需熟练运用矩形、正方形的边和角特征，逐步推导边、角关系，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
