7. (★★)如图,在$□ ABCD$中,BD为对角线,E,F是BD上的点,且$BF=DE$。求证:四边形AECF是平行四边形。

如图,
连接$\boldsymbol{AC}$,交$\boldsymbol{BD}$于点$\boldsymbol{O}$。

$\boldsymbol{∵}$ $\boldsymbol{四边形ABCD}$是平行四边形,
$\boldsymbol{∴}$ $\boldsymbol{OA=OC,OB=OD}$。
$\boldsymbol{∵}$ $\boldsymbol{BF=DE}$,
$\boldsymbol{∴}$ $\boldsymbol{BF-OB=DE-OD}$,即$\boldsymbol{OF=OE}$。
$\boldsymbol{∵}$ $\boldsymbol{OA=OC}$,
$\boldsymbol{∴}$ $\boldsymbol{四边形AECF}$是平行四边形。

8. (★)如图①,战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架("轸")为平行四边形的技术:"凡察车之道,必自载于地者始也……合矩以为方,中规乃行。"如图②,实际操作为:构成轮轴支架四边形的顶点分别为A,B,C,D,若$AO=CO$,且$BO=DO$,则轮轴支架形成的四边形是平行四边形的最简明理由是 【 】


A.对角线互相平分
B.两组对边分别相等
C.一组对边平行且相等
D.两组对边分别平行

$\boldsymbol{A}$

9. (★★)已知$△ ABC$(如图①),按照图②、图③所示的尺规作图痕迹(不需借助三角形全等)就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是 【 】


A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

$\boldsymbol{B}$

10. (★★)如图,已知O是$□ ABCD$的对角线AC的中点,过点O的直线EF分别交AB,CD于E,F两点。求证:四边形AECF是平行四边形。

在$\boldsymbol{□ABCD}$中,$\boldsymbol{AB//CD}$,
$\boldsymbol{∴}$ $\boldsymbol{∠EAO=∠FCO}$。
$\boldsymbol{∵}$ $\boldsymbol{O}$为$\boldsymbol{AC}$的中点,$\boldsymbol{∴}$ $\boldsymbol{AO=CO}$。
在$\boldsymbol{△ AOE}$和$\boldsymbol{△ COF}$中,
$\boldsymbol{\begin{cases}∠EAO=∠FCO, \\AO=CO, \\∠AOE=∠COF,\end{cases}}$
$\boldsymbol{∴}$ $\boldsymbol{△ AOE≌△ COF(ASA)}$。
$\boldsymbol{∴}$ $\boldsymbol{OE=OF}$。
$\boldsymbol{∴}$ $\boldsymbol{四边形AECF}$为平行四边形。