15 如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形,那么这种分割叫作等腰分割,这条线段称为这个三角形的等腰分割线. 如图①,当$△ ABD$和$△ ACD$为等腰三角形时,$AD$为$△ ABC$的等腰分割线.
(1) 如图②,在$△ ABC$中,$∠ B=2∠ C$,线段$AC$的垂直平分线$ED$交$AC$于点$D$,交$BC$于点$E$.
求证:$AE$是$△ ABC$的一条等腰分割线.
(2) 在$△ ABC$中,$AD$为$△ ABC$的等腰分割线,$AD=BD$,$∠ C=30°$,求$∠ B$的度数.

15. (1) $\because DE$ 是线段 $AC$ 的垂直平分线, $\therefore EA = EC$,即$△ EAC$ 是等腰三角形. $\therefore ∠ EAC=∠ C. \therefore ∠ AEB=∠ EAC+∠ C=2∠ C. \because ∠ B=2∠ C,\therefore ∠ AEB=∠ B$,即$△ EAB$ 是等腰三角形. $\therefore AE$ 是$△ ABC$ 的一条等腰分割线
(2) $\because AD$ 为$△ ABC$ 的等腰分割线,$\therefore △ ABD$ 和$△ ACD$ 都是等腰三角形. $\because AD=BD,\therefore ∠ B=∠ BAD.$ ① 如图①,当 $AD=CD$ 时,可得$∠ C=∠ CAD=30°. \therefore ∠ ADB=∠ C+∠ CAD=30°+30°=60°. \therefore ∠ B=∠ BAD=60°.$ ② 如图②,当 $AD=AC$ 时,可得$∠ ADC = ∠ C = 30°. \because ∠ B = ∠ BAD, ∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD=30°,\therefore ∠ B=15°.$ ③ 如图③,当 $AC=CD$ 时,可得$∠ CAD = ∠ ADC = \frac{180°-30°}{2} = 75°. \because ∠ B = ∠ BAD,∠ ADC=∠ B+∠ BAD,\therefore ∠ B=37.5°.$综上所述,$∠ B$ 的度数为 $60°$或 $15°$或 $37.5°$

【分析】
本题是新定义题型，核心是理解“等腰分割线”的定义（将三角形分成两个等腰三角形的线段），结合等腰三角形性质、垂直平分线性质、三角形内角/外角性质解题：
(1) 要证AE是等腰分割线，需证△ABE和△ACE均为等腰三角形：利用垂直平分线性质得EA=EC，推出△EAC等腰，再结合外角性质和已知∠B=2∠C，推导∠AEB=∠B，得△ABE等腰，满足定义；
(2) AD是等腰分割线，故△ABD、△ACD均为等腰，由AD=BD得∠B=∠BAD，需对△ACD的腰的情况分类讨论（AD=CD、AD=AC、AC=CD），结合三角形内角和、外角性质分别计算∠B，避免漏解。
【解析】
(1) 证明：
∵ DE是线段AC的垂直平分线，
∴ EA = EC（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），
∴ △EAC是等腰三角形，
∴ ∠EAC = ∠C。
∵ ∠AEB是△EAC的外角，
∴ ∠AEB = ∠EAC + ∠C = 2∠C。
又
∵ ∠B = 2∠C，
∴ ∠AEB = ∠B，
∴ △EAB是等腰三角形。
因此AE是△ABC的一条等腰分割线。
(2) 解：
∵ AD为△ABC的等腰分割线，
∴ △ABD和△ACD都是等腰三角形，且AD=BD，
∴ ∠B = ∠BAD。
分三种情况讨论：
① 当AD=CD时，△ACD为等腰三角形，∠C=∠CAD=30°，
∴ ∠ADB = ∠C + ∠CAD = 30°+30°=60°，
在△ABD中，∠B = ∠BAD = (180° - ∠ADB)/2 = (180°-60°)/2=60°；
② 当AD=AC时，△ACD为等腰三角形，∠ADC=∠C=30°，
∵ ∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC=∠B + ∠BAD=2∠B，
∴ 2∠B=30°，得∠B=15°；
③ 当AC=CD时，△ACD为等腰三角形，∠CAD=∠ADC，
∴ ∠ADC=(180°-∠C)/2=(180°-30°)/2=75°，
又
∵ ∠ADC=∠B + ∠BAD=2∠B，
∴ 2∠B=75°，得∠B=37.5°。
综上，∠B的度数为60°或15°或37.5°。
【答案】15. (1) 证明见解析；(2) ∠B的度数为60°或15°或37.5°
【知识点】等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角与外角性质
【点评】本题为新定义题型，需准确理解“等腰分割线”的定义，第(1)问侧重垂直平分线与等腰性质的应用，第(2)问需分类讨论△ACD的等腰情况，考查逻辑推理与分类思想，解题时需注意不重不漏。
【难度系数】0.4

16 (1) 如图①,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°,AB=AC$,直线$m$经过点$A$,$BD⊥$直线$m$,$CE⊥$直线$m$,垂足分别为$D,E$. 求证:$DE=BD+CE$.
(2) 如图②,将(1)中的条件改为在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D,A,E$三点都在直线$m$上,并且有$∠ BDA=∠ AEC=∠ BAC=α$,其中$α$为任意锐角或钝角,结论$DE=BD+CE$是否成立?请说明理由.
(3) 如图③,$D,E$是$D,A,E$三点所在直线$m$上的两动点($D,A,E$三点互不重合),$F$为$∠ BAC$平分线上的一点,且$△ ABF$和$△ ACF$均为等边三角形,连接$BD,CE$. 若$∠ BDA=∠ AEC=∠ BAC$,试判断$△ DEF$的形状,并说明理由.

16. (1) $\because BD⊥$直线 $m$,$CE⊥$直线 $m$,$\therefore ∠ BDA=∠ AEC=90°. \because ∠ BAC=90°,\therefore ∠ BAD+∠ CAE=90°. \because ∠ BAD+∠ ABD = 90°, \therefore ∠ CAE = ∠ ABD.$ 又 $\because AB = CA,\therefore △ ADB≌△ CEA. \therefore BD=AE,AD=CE. \therefore DE=AE+AD=BD+CE$
(2) 成立 理由:$\because ∠ BDA = ∠ BAC = α,\therefore ∠ DBA + ∠ BAD = ∠ BAD + ∠ EAC = 180° - α. \therefore ∠ DBA=∠ EAC.$ 又 $\because ∠ BDA = ∠ AEC=α, AB = CA,\therefore △ ADB≌△ CEA. \therefore BD=AE,AD=CE. \therefore DE=AE+AD=BD+CE.$
(3) $△ DEF$ 为等边三角形 理由:由(2),知$∠ DBA=∠ EAC$,$△ ADB≌△ CEA$,$\therefore BD=AE. \because △ ABF$ 和$△ ACF$ 均为等边三角形,$\therefore BF=AF$,$∠ BFA=∠ ABF=∠ CAF=60°. \therefore ∠ DBA+∠ ABF = ∠ EAC+∠ CAF$,即$∠ DBF = ∠ EAF.$ 又 $\because BF = AF, BD = AE, \therefore △ DBF≌△ EAF. \therefore DF=EF$,$∠ BFD=∠ AFE. \therefore ∠ DFE=∠ DFA+∠ AFE=∠ DFA+∠ BFD=∠ BFA=60°. \therefore △ DEF$ 为等边三角形.

【分析】
本题是递进式几何证明题，需逐步分析：
(1) 要证DE=BD+CE，观察DE由AD、AE组成，需将BD、CE转化为AD、AE，通过证明△ADB和△CEA全等，利用直角与角的和差关系找相等角，结合AB=AC完成全等证明，进而转化线段。
(2) 对一般角度α的情况，利用∠BDA=∠BAC=α，通过角的和差推导∠DBA=∠EAC，结合AB=AC、∠BDA=∠AEC，仍用AAS证△ADB≌△CEA，得到对应边相等，结论成立。
(3) 判断△DEF形状，先由(2)得△ADB≌△CEA，得BD=AE；再结合等边△ABF、△ACF的性质，推导角相等，证△DBF≌△EAF，得DF=EF且∠DFE=60°，从而判定为等边三角形。
【解析】
(1)
∵ BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴ ∠BDA=∠AEC=90°。
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠BAD+∠CAE=90°。
又
∵ ∠BAD+∠ABD=90°，
∴ ∠CAE=∠ABD。
在△ADB和△CEA中，$\{\begin{array}{l}∠BDA=∠AEC\\∠ABD=∠CAE\\AB=CA\end{array} $，
∴ △ADB≌△CEA(AAS)。
∴ BD=AE，AD=CE，
∴ DE=AE+AD=BD+CE。
(2) 结论DE=BD+CE成立，理由：
∵ ∠BDA=∠BAC=α，
∴ ∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠EAC=180°-α，
∴ ∠DBA=∠EAC。
在△ADB和△CEA中，$\{\begin{array}{l}∠BDA=∠AEC\\∠DBA=∠EAC\\AB=CA\end{array} $，
∴ △ADB≌△CEA(AAS)。
∴ BD=AE，AD=CE，
∴ DE=AE+AD=BD+CE。
(3) △DEF为等边三角形，理由：
由(2)知△ADB≌△CEA，
∴ BD=AE，∠DBA=∠EAC。
∵ △ABF和△ACF均为等边三角形，
∴ BF=AF，∠ABF=∠CAF=60°，
∴ ∠DBA+∠ABF=∠EAC+∠CAF，即∠DBF=∠EAF。
在△DBF和△EAF中，$\{\begin{array}{l}BD=AE\\∠DBF=∠EAF\\BF=AF\end{array} $，
∴ △DBF≌△EAF(SAS)。
∴ DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴ ∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=∠BFA=60°，
∴ △DEF为等边三角形。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 成立，理由见解析；(3) △DEF为等边三角形，理由见解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，角的和差。
【点评】
本题是递进式几何综合题，从特殊直角情况到一般角度情况，再到等边三角形判定，逐步考查全等三角形的应用，需掌握角的转化、全等判定定理，对逻辑推理能力要求较高，是几何证明的典型题型。
【难度系数】
0.5