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1 若$(x-3)^{0}-2(3x-6)^{-2}$有意义，则$x$的取值范围是（
A.$x＞3$
B.$x＜2$
C.$x≠3$或$x≠2$
D.$x≠3$且$x≠2$
D
）A.$x＞3$
B.$x＜2$
C.$x≠3$或$x≠2$
D.$x≠3$且$x≠2$
答案
D
解析
【分析】要使式子$(x-3)^0 - 2(3x-6)^{-2}$有意义，需依据零指数幂和负整数指数幂的定义，明确两种幂有意义的条件：零指数幂$a^0$的底数不能为0，负整数指数幂$a^{-n}$的底数也不能为0，因此需分别列出两个部分的限制条件，再取同时满足的范围，注意逻辑关系为“且”而非“或”。
【解析】根据零指数幂和负整数指数幂的意义：
1. 对于$(x-3)^0$，有意义的条件是底数$x-3≠0$，解得$x≠3$；
2. 对于$(3x-6)^{-2}=\frac{1}{(3x-6)^2}$，有意义的条件是底数$3x-6≠0$，解得$x≠2$；
要使整个式子有意义，需同时满足上述两个条件，即$x≠3$且$x≠2$。
【答案】D
【知识点】零指数幂、负整数指数幂
【点评】本题考查零指数幂与负整数指数幂有意义的条件，核心是牢记两种幂的底数不能为0，需同时满足所有限制条件，需注意区分“且”与“或”的逻辑关系，避免概念混淆。
【难度系数】0.6
【解析】根据零指数幂和负整数指数幂的意义：
1. 对于$(x-3)^0$，有意义的条件是底数$x-3≠0$，解得$x≠3$；
2. 对于$(3x-6)^{-2}=\frac{1}{(3x-6)^2}$，有意义的条件是底数$3x-6≠0$，解得$x≠2$；
要使整个式子有意义，需同时满足上述两个条件，即$x≠3$且$x≠2$。
【答案】D
【知识点】零指数幂、负整数指数幂
【点评】本题考查零指数幂与负整数指数幂有意义的条件，核心是牢记两种幂的底数不能为0，需同时满足所有限制条件，需注意区分“且”与“或”的逻辑关系，避免概念混淆。
【难度系数】0.6
2 [2025 海门模拟]计算：$-1^{4}-(\dfrac{1}{3})^{-1}=$
-4
.答案
-4
解析
【分析】
本题考查有理数的乘方和负整数指数幂的运算，解题思路是先分别计算乘方项和负指数幂项，再进行减法运算。需注意$-1^4$表示$1^4$的相反数，结果为$-1$，而非$(-1)^4$；负整数指数幂的计算规则为$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，据此计算$(\frac{1}{3})^{-1}$。
【解析】
解：第一步，计算乘方：$-1^4 = -1$；
第二步，计算负整数指数幂：$(\frac{1}{3})^{-1} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$；
第三步，计算减法：$-1 - 3 = -4$。
【答案】
-4
【知识点】
有理数的乘方、负整数指数幂
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查乘方和负指数幂的基本运算，需注意区分$-1^4$与$(-1)^4$的符号差异，以及负指数幂的运算规则，是学生应掌握的基础题型。
【难度系数】
0.6
本题考查有理数的乘方和负整数指数幂的运算，解题思路是先分别计算乘方项和负指数幂项，再进行减法运算。需注意$-1^4$表示$1^4$的相反数，结果为$-1$，而非$(-1)^4$；负整数指数幂的计算规则为$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，据此计算$(\frac{1}{3})^{-1}$。
【解析】
解：第一步，计算乘方：$-1^4 = -1$；
第二步，计算负整数指数幂：$(\frac{1}{3})^{-1} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$；
第三步，计算减法：$-1 - 3 = -4$。
【答案】
-4
【知识点】
有理数的乘方、负整数指数幂
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查乘方和负指数幂的基本运算，需注意区分$-1^4$与$(-1)^4$的符号差异，以及负指数幂的运算规则，是学生应掌握的基础题型。
【难度系数】
0.6
3 $(-3m^{2}n^{-2})^{-3}·(-2m^{-3}n^{4})^{-2}=(-3)^{-3}m^{-6}n^{6}·(-2)^{-2}m^{6}n^{-8}①=-\dfrac{1}{27}m^{-6}n^{6}·(-\dfrac{1}{4}m^{6}n^{-8})②=\dfrac{1}{108n^{2}}③.$ 上述解题过程中,从步骤
②
(填序号)开始出错,应改正为$-\dfrac{1}{27}m^{-6}n^{6}·\dfrac{1}{4}m^{6}n^{-8}=-\dfrac{1}{108n^{2}}$
.答案
从步骤②开始出错，改正为$-\dfrac{1}{27}m^{-6}n^{6}·\dfrac{1}{4}m^{6}n^{-8}=-\dfrac{1}{108n^{2}}$
解析
【分析】
要解决该问题，需先明确幂的运算法则：①积的乘方：$(ab)^n=a^n b^n$；②幂的乘方：$(a^m)^n=a^{mn}$；③负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），且负数的偶次幂为正、奇次幂为负。先验证每一步：步骤①中，$(-3m^2n^{-2})^{-3}$计算为$(-3)^{-3}m^{-6}n^6=-\frac{1}{27}m^{-6}n^6$，$(-2m^{-3}n^4)^{-2}$计算为$(-2)^{-2}m^6n^{-8}$，这一步是对的；步骤②中，错误将$(-2)^{-2}$算为$-\frac{1}{4}$，实际$(-2)^{-2}=\frac{1}{(-2)^2}=\frac{1}{4}$，符号应为正，因此步骤②出错。
【解析】
根据幂的运算法则逐步推导：
1. 计算$(-3m^2n^{-2})^{-3}$：由积的乘方得$(-3)^{-3}·(m^2)^{-3}·(n^{-2})^{-3}=-\frac{1}{27}m^{-6}n^6$；
2. 计算$(-2m^{-3}n^4)^{-2}$：由积的乘方得$(-2)^{-2}·(m^{-3})^{-2}·(n^4)^{-2}=\frac{1}{4}m^6n^{-8}$；
3. 步骤②中，错误将$(-2)^{-2}$的符号算反，实际应为$\frac{1}{4}$，因此步骤②应改正为：$-\frac{1}{27}m^{-6}n^6·\frac{1}{4}m^6n^{-8}$；
4. 后续计算：系数相乘为$-\frac{1}{27}×\frac{1}{4}=-\frac{1}{108}$，$m$的指数：$-6+6=0$，$n$的指数：$6-8=-2$，最终结果为$-\frac{1}{108n^2}$。
【答案】
②；$-\dfrac{1}{27}m^{-6}n^{6}·\dfrac{1}{4}m^{6}n^{-8}=-\dfrac{1}{108n^{2}}$
【知识点】
负整数指数幂，幂的乘方，积的乘方
【点评】
本题考查幂的运算中负整数指数幂的计算，关键是掌握负整数指数幂的运算法则，尤其要注意负数的偶次幂为正，避免符号错误，属于基础运算题，需细心计算。
【难度系数】
0.4
要解决该问题，需先明确幂的运算法则：①积的乘方：$(ab)^n=a^n b^n$；②幂的乘方：$(a^m)^n=a^{mn}$；③负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），且负数的偶次幂为正、奇次幂为负。先验证每一步：步骤①中，$(-3m^2n^{-2})^{-3}$计算为$(-3)^{-3}m^{-6}n^6=-\frac{1}{27}m^{-6}n^6$，$(-2m^{-3}n^4)^{-2}$计算为$(-2)^{-2}m^6n^{-8}$，这一步是对的；步骤②中，错误将$(-2)^{-2}$算为$-\frac{1}{4}$，实际$(-2)^{-2}=\frac{1}{(-2)^2}=\frac{1}{4}$，符号应为正，因此步骤②出错。
【解析】
根据幂的运算法则逐步推导：
1. 计算$(-3m^2n^{-2})^{-3}$：由积的乘方得$(-3)^{-3}·(m^2)^{-3}·(n^{-2})^{-3}=-\frac{1}{27}m^{-6}n^6$；
2. 计算$(-2m^{-3}n^4)^{-2}$：由积的乘方得$(-2)^{-2}·(m^{-3})^{-2}·(n^4)^{-2}=\frac{1}{4}m^6n^{-8}$；
3. 步骤②中，错误将$(-2)^{-2}$的符号算反，实际应为$\frac{1}{4}$，因此步骤②应改正为：$-\frac{1}{27}m^{-6}n^6·\frac{1}{4}m^6n^{-8}$；
4. 后续计算：系数相乘为$-\frac{1}{27}×\frac{1}{4}=-\frac{1}{108}$，$m$的指数：$-6+6=0$，$n$的指数：$6-8=-2$，最终结果为$-\frac{1}{108n^2}$。
【答案】
②；$-\dfrac{1}{27}m^{-6}n^{6}·\dfrac{1}{4}m^{6}n^{-8}=-\dfrac{1}{108n^{2}}$
【知识点】
负整数指数幂，幂的乘方，积的乘方
【点评】
本题考查幂的运算中负整数指数幂的计算，关键是掌握负整数指数幂的运算法则，尤其要注意负数的偶次幂为正，避免符号错误，属于基础运算题，需细心计算。
【难度系数】
0.4
4 教材P161练习第2题变式 计算：
(1) $(x^{2}y^{-3}c)^{-2}· (x^{-1}y^{-2})^{3}$；
(2) $4ab^{2}÷ (-2a^{-2}b)^{3}$.
(1) $(x^{2}y^{-3}c)^{-2}· (x^{-1}y^{-2})^{3}$；
(2) $4ab^{2}÷ (-2a^{-2}b)^{3}$.
答案
(1) $\dfrac{1}{x^{7}c^{2}}$
(2) $-\dfrac{a^{7}}{2b}$
(2) $-\dfrac{a^{7}}{2b}$
解析
【分析】本题考查负整数指数幂的运算，需运用幂的乘方、积的乘方及同底数幂的乘除法则。对于(1)，先分别计算两个幂的乘方，再进行同底数幂的乘法运算，最后将负指数转化为正指数；对于(2)，先计算积的乘方，再进行单项式的除法运算，同样处理负指数，注意符号和指数的变化规则。
【解析】
(1) 先计算幂的乘方：
$(x^{2}y^{-3}c)^{-2} = x^{2×(-2)}y^{-3×(-2)}c^{-2} = x^{-4}y^{6}c^{-2}$，
$(x^{-1}y^{-2})^{3} = x^{-1×3}y^{-2×3} = x^{-3}y^{-6}$，
再计算同底数幂的乘法：
$x^{-4}y^{6}c^{-2}·x^{-3}y^{-6} = x^{-4 + (-3)}y^{6 + (-6)}c^{-2} = x^{-7}y^{0}c^{-2} = x^{-7}c^{-2}$，
转化为正指数得：$\dfrac{1}{x^{7}c^{2}}$；
(2) 先计算积的乘方：
$(-2a^{-2}b)^{3} = (-2)^{3}(a^{-2})^{3}b^{3} = -8a^{-6}b^{3}$，
再计算单项式的除法：
$4ab^{2}÷(-8a^{-6}b^{3}) = \dfrac{4}{-8}·a^{1 - (-6)}·b^{2 - 3} = -\dfrac{1}{2}a^{7}b^{-1}$，
转化为正指数得：$-\dfrac{a^{7}}{2b}$；
【答案】(1) $\dfrac{1}{x^{7}c^{2}}$；(2) $-\dfrac{a^{7}}{2b}$
【知识点】负整数指数幂运算，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除运算
【点评】本题是指数运算的基础变式题，重点考查幂的运算性质及负指数的转化，解题时需注意指数的运算规则和符号的处理，避免因粗心导致指数计算错误或符号错误，熟练掌握相关法则即可正确解答。
【难度系数】0.6
【解析】
(1) 先计算幂的乘方：
$(x^{2}y^{-3}c)^{-2} = x^{2×(-2)}y^{-3×(-2)}c^{-2} = x^{-4}y^{6}c^{-2}$，
$(x^{-1}y^{-2})^{3} = x^{-1×3}y^{-2×3} = x^{-3}y^{-6}$，
再计算同底数幂的乘法：
$x^{-4}y^{6}c^{-2}·x^{-3}y^{-6} = x^{-4 + (-3)}y^{6 + (-6)}c^{-2} = x^{-7}y^{0}c^{-2} = x^{-7}c^{-2}$，
转化为正指数得：$\dfrac{1}{x^{7}c^{2}}$；
(2) 先计算积的乘方：
$(-2a^{-2}b)^{3} = (-2)^{3}(a^{-2})^{3}b^{3} = -8a^{-6}b^{3}$，
再计算单项式的除法：
$4ab^{2}÷(-8a^{-6}b^{3}) = \dfrac{4}{-8}·a^{1 - (-6)}·b^{2 - 3} = -\dfrac{1}{2}a^{7}b^{-1}$，
转化为正指数得：$-\dfrac{a^{7}}{2b}$；
【答案】(1) $\dfrac{1}{x^{7}c^{2}}$；(2) $-\dfrac{a^{7}}{2b}$
【知识点】负整数指数幂运算，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除运算
【点评】本题是指数运算的基础变式题，重点考查幂的运算性质及负指数的转化，解题时需注意指数的运算规则和符号的处理，避免因粗心导致指数计算错误或符号错误，熟练掌握相关法则即可正确解答。
【难度系数】0.6
5 [2026 崇川段测]如果$a=(-2026)^{0}$,$b=(-\dfrac{1}{3})^{-2}$,$c=(-2)^{2}$,那么它们的大小关系为 （
A.$b＞c＞a$
B.$c＞a＞b$
C.$c＞b＞a$
D.$a＞b＞c$
A
）A.$b＞c＞a$
B.$c＞a＞b$
C.$c＞b＞a$
D.$a＞b＞c$
答案
A
解析
【分析】
要比较a、b、c的大小，需先根据幂的相关运算法则分别计算出a、b、c的值，再对计算结果进行大小比较，进而选出正确选项。
【解析】
1. 计算a的值：根据零指数幂的运算法则，任何非零数的0次幂都等于1，所以$a=(-2026)^0=1$；
2. 计算b的值：根据负整数指数幂的运算法则，$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），所以$b=(-\frac{1}{3})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{\frac{1}{9}}=9$；
3. 计算c的值：根据有理数的乘方运算，$(-2)^2=(-2)×(-2)=4$；
4. 比较大小：因为$9＞4＞1$，即$b＞c＞a$，所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方
【点评】
本题考查幂的基本运算，属于基础题型，关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂及有理数乘方的运算法则，计算时需注意符号和指数的处理，难度不大。
【难度系数】
0.8
要比较a、b、c的大小，需先根据幂的相关运算法则分别计算出a、b、c的值，再对计算结果进行大小比较，进而选出正确选项。
【解析】
1. 计算a的值：根据零指数幂的运算法则，任何非零数的0次幂都等于1，所以$a=(-2026)^0=1$；
2. 计算b的值：根据负整数指数幂的运算法则，$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），所以$b=(-\frac{1}{3})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{\frac{1}{9}}=9$；
3. 计算c的值：根据有理数的乘方运算，$(-2)^2=(-2)×(-2)=4$；
4. 比较大小：因为$9＞4＞1$，即$b＞c＞a$，所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方
【点评】
本题考查幂的基本运算，属于基础题型，关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂及有理数乘方的运算法则，计算时需注意符号和指数的处理，难度不大。
【难度系数】
0.8
6 若 a,b 均为非 0 实数且 $a+b≠0$,则 $(a^{-1}+b^{-1})^{-1}$ 可化简为
$\dfrac{ab}{a+b}$
.答案
$\dfrac{ab}{a+b}$
解析
【分析】
本题需化简含负整数指数幂的代数式，解题思路为：先利用负整数指数幂的意义将括号内的负指数转化为分式，再通过通分计算括号内的和，最后根据负整数指数幂的定义化简整体，即可得到结果。
【解析】
解：根据负整数指数幂的定义，$a^{-1}=\frac{1}{a}$，$b^{-1}=\frac{1}{b}$，则：
$\begin{aligned}(a^{-1}+b^{-1})^{-1}&=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^{-1}\\&=(\frac{b + a}{ab})^{-1}\\&=\frac{ab}{a+b}\end{aligned}$
（因$a,b$均为非0实数且$a+b≠0$，运算有意义）
【答案】
$\dfrac{ab}{a+b}$
【知识点】
负整数指数幂、分式的通分
【点评】
本题是负指数幂化简的基础题，核心考查负整数指数幂的定义及分式通分运算，步骤明确，掌握基本运算规则即可解答。
【难度系数】
0.7
本题需化简含负整数指数幂的代数式，解题思路为：先利用负整数指数幂的意义将括号内的负指数转化为分式，再通过通分计算括号内的和，最后根据负整数指数幂的定义化简整体，即可得到结果。
【解析】
解：根据负整数指数幂的定义，$a^{-1}=\frac{1}{a}$，$b^{-1}=\frac{1}{b}$，则：
$\begin{aligned}(a^{-1}+b^{-1})^{-1}&=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^{-1}\\&=(\frac{b + a}{ab})^{-1}\\&=\frac{ab}{a+b}\end{aligned}$
（因$a,b$均为非0实数且$a+b≠0$，运算有意义）
【答案】
$\dfrac{ab}{a+b}$
【知识点】
负整数指数幂、分式的通分
【点评】
本题是负指数幂化简的基础题，核心考查负整数指数幂的定义及分式通分运算，步骤明确，掌握基本运算规则即可解答。
【难度系数】
0.7
7 教材P162习题18.4第2题变式 计算:$3^{-2}-4×(-\dfrac{5}{14})^{0}×(\dfrac{4}{7})^{-1}=$
$-6\dfrac{8}{9}$
。答案
$-6\dfrac{8}{9}$
解析
【分析】
本题是涉及负整数指数幂、零指数幂的有理数混合运算，解题思路为：先根据负整数指数幂法则（$a^{-p}=\frac{1}{a^p},a≠0$）计算$3^{-2}$和$(\frac{4}{7})^{-1}$，再根据零指数幂法则（$a^0=1,a≠0$）计算$(-\frac{5}{14})^0$，最后按照“先乘除后加减”的运算顺序计算结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{3^2} - 4×1×\frac{7}{4}\\&=\frac{1}{9} - 7\\&=\frac{1}{9} - \frac{63}{9}\\&=-\frac{62}{9}\\&=-6\frac{8}{9}\end{aligned}$
【答案】
$-6\dfrac{8}{9}$
【知识点】
负整数指数幂、零指数幂、有理数混合运算
【点评】
本题考查负整数指数幂与零指数幂的基本运算，属于基础题型，只要牢记相关运算法则，按运算顺序计算即可得出正确结果，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题是涉及负整数指数幂、零指数幂的有理数混合运算，解题思路为：先根据负整数指数幂法则（$a^{-p}=\frac{1}{a^p},a≠0$）计算$3^{-2}$和$(\frac{4}{7})^{-1}$，再根据零指数幂法则（$a^0=1,a≠0$）计算$(-\frac{5}{14})^0$，最后按照“先乘除后加减”的运算顺序计算结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{3^2} - 4×1×\frac{7}{4}\\&=\frac{1}{9} - 7\\&=\frac{1}{9} - \frac{63}{9}\\&=-\frac{62}{9}\\&=-6\frac{8}{9}\end{aligned}$
【答案】
$-6\dfrac{8}{9}$
【知识点】
负整数指数幂、零指数幂、有理数混合运算
【点评】
本题考查负整数指数幂与零指数幂的基本运算，属于基础题型，只要牢记相关运算法则，按运算顺序计算即可得出正确结果，难度较低。
【难度系数】
0.8
8 计算：
(1) $(2m^{2}n^{-1})^{2} ÷ 3m^{3}n^{-5}$；
(2) $(-2a^{-2})^{3} · b ÷ 2a^{-5}b^{-2}$。
(1) $(2m^{2}n^{-1})^{2} ÷ 3m^{3}n^{-5}$；
(2) $(-2a^{-2})^{3} · b ÷ 2a^{-5}b^{-2}$。
答案
(1) $\dfrac{4}{3}mn^{3}$
(2) $-\dfrac{4b^{3}}{a}$
(2) $-\dfrac{4b^{3}}{a}$
解析
【分析】
本题考查整式的乘除混合运算，涉及负整数指数幂的运算。解题思路是：先根据积的乘方、幂的乘方法则计算乘方部分，再根据同底数幂的乘除法则进行运算，最后将负整数指数转化为正指数形式化简。计算时需遵循“先乘方，后乘除”的运算顺序，注意指数的符号变化，避免出错。
【解析】
(1) 先计算积的乘方：
$(2m^{2}n^{-1})^{2} = 2^2 · (m^2)^2 · (n^{-1})^2 = 4m^4n^{-2}$
再计算除法：
$4m^4n^{-2} ÷ 3m^3n^{-5} = \frac{4}{3} · m^{4-3} · n^{-2 - (-5)} = \frac{4}{3}mn^3$
(2) 先计算积的乘方：
$(-2a^{-2})^3 = (-2)^3 · (a^{-2})^3 = -8a^{-6}$
再依次计算乘除：
$-8a^{-6} · b ÷ 2a^{-5}b^{-2} = (-8 ÷ 2) · a^{-6 - (-5)} · b^{1 - (-2)} = -4a^{-1}b^3 = -\frac{4b^3}{a}$
【答案】
(1) $\dfrac{4}{3}mn^{3}$；(2) $-\dfrac{4b^{3}}{a}$
【知识点】
整式的乘除运算、负整数指数幂
【点评】
本题是基础幂运算综合题，核心考查积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘除法则及负整数指数的转化，解题关键是牢记运算法则，运算时注意指数符号的处理，整体难度不大，只要掌握基础法则即可正确解答。
【难度系数】
0.6
本题考查整式的乘除混合运算，涉及负整数指数幂的运算。解题思路是：先根据积的乘方、幂的乘方法则计算乘方部分，再根据同底数幂的乘除法则进行运算，最后将负整数指数转化为正指数形式化简。计算时需遵循“先乘方，后乘除”的运算顺序，注意指数的符号变化，避免出错。
【解析】
(1) 先计算积的乘方：
$(2m^{2}n^{-1})^{2} = 2^2 · (m^2)^2 · (n^{-1})^2 = 4m^4n^{-2}$
再计算除法：
$4m^4n^{-2} ÷ 3m^3n^{-5} = \frac{4}{3} · m^{4-3} · n^{-2 - (-5)} = \frac{4}{3}mn^3$
(2) 先计算积的乘方：
$(-2a^{-2})^3 = (-2)^3 · (a^{-2})^3 = -8a^{-6}$
再依次计算乘除：
$-8a^{-6} · b ÷ 2a^{-5}b^{-2} = (-8 ÷ 2) · a^{-6 - (-5)} · b^{1 - (-2)} = -4a^{-1}b^3 = -\frac{4b^3}{a}$
【答案】
(1) $\dfrac{4}{3}mn^{3}$；(2) $-\dfrac{4b^{3}}{a}$
【知识点】
整式的乘除运算、负整数指数幂
【点评】
本题是基础幂运算综合题，核心考查积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘除法则及负整数指数的转化，解题关键是牢记运算法则，运算时注意指数符号的处理，整体难度不大，只要掌握基础法则即可正确解答。
【难度系数】
0.6
9 已知 $a+a^{-1}=3$.
(1) 求 $a^{2}+a^{-2}$ 与 $a-a^{-1}$ 的值;
(2) 如果将“$a+a^{-1}=3$”改为“$a^{2}-3a+1=0$”,试求 $a-a^{-1}$ 的值.
(1) 求 $a^{2}+a^{-2}$ 与 $a-a^{-1}$ 的值;
(2) 如果将“$a+a^{-1}=3$”改为“$a^{2}-3a+1=0$”,试求 $a-a^{-1}$ 的值.
答案
(1) $a^{2}+a^{-2}=7$ $a-a^{-1}=±\sqrt{5}$
(2) 由$a^{2}-3a+1=0$,可知$a≠0$,$\therefore$ 在该等式两边都除以$a$,可变形为$a-3+a^{-1}=0$,即$a+a^{-1}=3$. $\therefore$ 易得$a-a^{-1}=±\sqrt{5}$
(2) 由$a^{2}-3a+1=0$,可知$a≠0$,$\therefore$ 在该等式两边都除以$a$,可变形为$a-3+a^{-1}=0$,即$a+a^{-1}=3$. $\therefore$ 易得$a-a^{-1}=±\sqrt{5}$
解析
【分析】
本题核心是利用完全平方公式的变形求解含负指数的代数式值，需先明确负指数幂的运算性质，通过对已知等式平方或变形，结合完全平方公式转化为目标式。第(1)问先将已知等式平方求$a^2+a^{-2}$，再利用完全平方公式求$a-a^{-1}$；第(2)问先对二次方程变形得到$a+a^{-1}$的值，再同第(1)问方法求解。
【解析】
(1) 已知$a + a^{-1}=3$，将等式两边同时平方：
$(a + a^{-1})^2 = a^2 + 2 · a · a^{-1} + a^{-2} = a^2 + 2 + a^{-2}$
代入$a + a^{-1}=3$，得$9 = a^2 + a^{-2} + 2$，解得$a^2 + a^{-2}=7$。
再求$a - a^{-1}$，计算其平方：
$(a - a^{-1})^2 = a^2 - 2 · a · a^{-1} + a^{-2} = a^2 + a^{-2} - 2$
代入$a^2 + a^{-2}=7$，得$(a - a^{-1})^2=7 - 2=5$，因此$a - a^{-1}=±\sqrt{5}$。
(2) 对于方程$a^2 - 3a + 1=0$，显然$a≠0$（若$a=0$，代入方程得$1=0$，不成立），等式两边同时除以$a$：
$a - 3 + a^{-1}=0$，整理得$a + a^{-1}=3$，与第(1)问条件相同，因此同第(1)问方法，可得$(a - a^{-1})^2=5$，故$a - a^{-1}=±\sqrt{5}$。
【答案】
(1)$a^2 + a^{-2}=7$，$a - a^{-1}=±\sqrt{5}$；(2)$±\sqrt{5}$
【知识点】
完全平方公式、负整数指数幂、一元二次方程
【点评】
本题考查代数式变形求值，核心是利用完全平方公式转化含负指数的式子，关键掌握$(a±b)^2=a²±2ab+b²$的结构，注意开平方的正负性，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.6
本题核心是利用完全平方公式的变形求解含负指数的代数式值，需先明确负指数幂的运算性质，通过对已知等式平方或变形，结合完全平方公式转化为目标式。第(1)问先将已知等式平方求$a^2+a^{-2}$，再利用完全平方公式求$a-a^{-1}$；第(2)问先对二次方程变形得到$a+a^{-1}$的值，再同第(1)问方法求解。
【解析】
(1) 已知$a + a^{-1}=3$，将等式两边同时平方：
$(a + a^{-1})^2 = a^2 + 2 · a · a^{-1} + a^{-2} = a^2 + 2 + a^{-2}$
代入$a + a^{-1}=3$，得$9 = a^2 + a^{-2} + 2$，解得$a^2 + a^{-2}=7$。
再求$a - a^{-1}$，计算其平方：
$(a - a^{-1})^2 = a^2 - 2 · a · a^{-1} + a^{-2} = a^2 + a^{-2} - 2$
代入$a^2 + a^{-2}=7$，得$(a - a^{-1})^2=7 - 2=5$，因此$a - a^{-1}=±\sqrt{5}$。
(2) 对于方程$a^2 - 3a + 1=0$，显然$a≠0$（若$a=0$，代入方程得$1=0$，不成立），等式两边同时除以$a$：
$a - 3 + a^{-1}=0$，整理得$a + a^{-1}=3$，与第(1)问条件相同，因此同第(1)问方法，可得$(a - a^{-1})^2=5$，故$a - a^{-1}=±\sqrt{5}$。
【答案】
(1)$a^2 + a^{-2}=7$，$a - a^{-1}=±\sqrt{5}$；(2)$±\sqrt{5}$
【知识点】
完全平方公式、负整数指数幂、一元二次方程
【点评】
本题考查代数式变形求值，核心是利用完全平方公式转化含负指数的式子，关键掌握$(a±b)^2=a²±2ab+b²$的结构，注意开平方的正负性，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.6
