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13. 化简：
(1)$\sqrt{m^{3}· n^{4}}(m＞0,n＞0)$.
(2)$\sqrt{4-4x+x^{2}}(x＞2)$.
(1)$\sqrt{m^{3}· n^{4}}(m＞0,n＞0)$.
(2)$\sqrt{4-4x+x^{2}}(x＞2)$.
答案
13. (1)$mn^{2}\sqrt{m}$ (2)$x-2$
14. 实数$a$，$b$在数轴上的位置如图所示，化简$\sqrt{a^{2}}-\sqrt{b^{2}}-\sqrt{(a-b)^{2}}$.
答案
14. $-2b$
15. 观察下列等式：
(1)$\sqrt{1-\dfrac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}$.
(2)$\sqrt{2-\dfrac{2}{5}}=2\sqrt{\dfrac{2}{5}}$.
(3)$\sqrt{3-\dfrac{3}{10}}=3\sqrt{\dfrac{3}{10}}$.
(4)$\sqrt{4-\dfrac{4}{17}}=4\sqrt{\dfrac{4}{17}}$.
根据你发现的规律填空：
(1)第5个等式是
(2)第$n$个等式是
(3)请验证上面的两个等式.
(1)$\sqrt{1-\dfrac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}$.
(2)$\sqrt{2-\dfrac{2}{5}}=2\sqrt{\dfrac{2}{5}}$.
(3)$\sqrt{3-\dfrac{3}{10}}=3\sqrt{\dfrac{3}{10}}$.
(4)$\sqrt{4-\dfrac{4}{17}}=4\sqrt{\dfrac{4}{17}}$.
根据你发现的规律填空：
(1)第5个等式是
$\sqrt{5-\dfrac{5}{26}}=5\sqrt{\dfrac{5}{26}}$
.(2)第$n$个等式是
$\sqrt{n-\dfrac{n}{n^{2}+1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^{2}+1}}$
.(3)请验证上面的两个等式.
答案
15. (1)$5\sqrt{\frac{5}{26}}$ (2)$n\sqrt{\frac{n}{n^{2}+1}}$ (3)略
16. 同学们，我们来学习利用完全平方公式：$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm2ab+b^{2}$近似计算算术平方根的方法. 例如求$\sqrt{67}$的近似值.
因为$64＜67＜81$，
所以$8＜\sqrt{67}＜9$，
则$\sqrt{67}$可以设成以下两种形式：
①$\sqrt{67}=8+s$，其中$0＜s＜1$；②$\sqrt{67}=9-t$，其中$0＜t＜1$.
小明以①的形式求$\sqrt{67}$的近似值的过程如表.
|因为$\sqrt{67}=8+s$，
所以$67=(8+s)^{2}$，
即$67=64+16s+s^{2}$.
因为$s^{2}$比较小，
将$s^{2}$忽略不计，
所以$67\approx64+16s$，
即$16s\approx67-64$，
得$s\approx\dfrac{67-64}{16}=\dfrac{3}{16}$，
故$\sqrt{67}\approx8+\dfrac{3}{16}\approx8.19.$|
|----|
【尝试探究】
(1)请用②的形式求$\sqrt{67}$的近似值.(结果保留2位小数)
【比较分析】
(2)你认为用哪一种形式得出的$\sqrt{67}$的近似值的精确度更高，请说明理由.
因为$64＜67＜81$，
所以$8＜\sqrt{67}＜9$，
则$\sqrt{67}$可以设成以下两种形式：
①$\sqrt{67}=8+s$，其中$0＜s＜1$；②$\sqrt{67}=9-t$，其中$0＜t＜1$.
小明以①的形式求$\sqrt{67}$的近似值的过程如表.
|因为$\sqrt{67}=8+s$，
所以$67=(8+s)^{2}$，
即$67=64+16s+s^{2}$.
因为$s^{2}$比较小，
将$s^{2}$忽略不计，
所以$67\approx64+16s$，
即$16s\approx67-64$，
得$s\approx\dfrac{67-64}{16}=\dfrac{3}{16}$，
故$\sqrt{67}\approx8+\dfrac{3}{16}\approx8.19.$|
|----|
【尝试探究】
(1)请用②的形式求$\sqrt{67}$的近似值.(结果保留2位小数)
【比较分析】
(2)你认为用哪一种形式得出的$\sqrt{67}$的近似值的精确度更高，请说明理由.
答案
解:(1)设$\sqrt{67}=9-t$,其中$0＜ t＜1$,
$\therefore (\sqrt{67})^{2}=(9-t)^{2}$,$\therefore 67=81-18t+t^{2}$,
$\because t^{2}$比较小,将$t^{2}$忽略不计,$\therefore 67\approx81-18t$,
$\therefore t\approx\frac{81-67}{18}=\frac{7}{9}$,$\therefore \sqrt{67}\approx9-\frac{7}{9}\approx8.22$.
(2)用①的形式得出的$\sqrt{67}$的近似值的精确度更高,
理由如下:
$\because 8.18×8.18=66.9124$,$8.19×8.19=67.0761$,
$\sqrt{66.9124}＜\sqrt{67}＜\sqrt{67.0761}$,
$\therefore 8.18＜\sqrt{67}＜8.19＜8.22$,
$\therefore$用①的形式得出的$\sqrt{67}$的近似值的精确度更高.
$\therefore (\sqrt{67})^{2}=(9-t)^{2}$,$\therefore 67=81-18t+t^{2}$,
$\because t^{2}$比较小,将$t^{2}$忽略不计,$\therefore 67\approx81-18t$,
$\therefore t\approx\frac{81-67}{18}=\frac{7}{9}$,$\therefore \sqrt{67}\approx9-\frac{7}{9}\approx8.22$.
(2)用①的形式得出的$\sqrt{67}$的近似值的精确度更高,
理由如下:
$\because 8.18×8.18=66.9124$,$8.19×8.19=67.0761$,
$\sqrt{66.9124}＜\sqrt{67}＜\sqrt{67.0761}$,
$\therefore 8.18＜\sqrt{67}＜8.19＜8.22$,
$\therefore$用①的形式得出的$\sqrt{67}$的近似值的精确度更高.
