例1：(1) 36的因数有()，24的因数有()，36和24的公因数有()，其中最大公因数是()。
(2) 12的倍数有()，8的倍数有()，12和8的公倍数有()，其中最小公倍数是()。
分析：可以用列举法先找出这些数的因数和倍数，然后找出公因数、公倍数，以及最大公因数、最小公倍数。

1,2,3,4,6,9,12,18,36
1,2,3,4,6,8,12,24
1,2,3,4,6,12
12
12,24,36,48,…
8,16,24,32,40,48,…
24,48,72,…
24

【分析】
对于（1），找一个数的因数，可从1开始，依次判断哪些数能整除该数，采用一对一对列举的方式（如36=1×36，2×18等），能有效避免遗漏；找出36和24的因数后，对比两者的因数，相同的数就是它们的公因数，其中数值最大的就是最大公因数。
对于（2），找一个数的倍数，用该数依次乘1、2、3……即可，由于倍数的个数是无限的，所以列举出部分后要添加省略号；找出12和8的倍数后，对比两者的倍数，相同的数就是它们的公倍数，其中数值最小的就是最小公倍数。
【解析】
（1）求解36的因数：
通过列举乘积为36的整数对：1×36=36，2×18=36，3×12=36，4×9=36，6×6=36，可得36的因数为1,2,3,4,6,9,12,18,36；
求解24的因数：
通过列举乘积为24的整数对：1×24=24，2×12=24，3×8=24，4×6=24，可得24的因数为1,2,3,4,6,8,12,24；
对比36和24的因数，相同的数为1,2,3,4,6,12，即二者的公因数；其中最大的数是12，即最大公因数。
（2）求解12的倍数：
用12依次乘正整数：12×1=12，12×2=24，12×3=36，12×4=48……，可得12的倍数为12,24,36,48,…；
求解8的倍数：
用8依次乘正整数：8×1=8，8×2=16，8×3=24，8×4=32，8×5=40，8×6=48……，可得8的倍数为8,16,24,32,40,48,…；
对比12和8的倍数，相同的数为24,48,72,…，即二者的公倍数；其中最小的数是24，即最小公倍数。
【答案】
1,2,3,4,6,9,12,18,36
1,2,3,4,6,8,12,24
1,2,3,4,6,12
12
12,24,36,48,…
8,16,24,32,40,48,…
24,48,72,…
24
【知识点】
因数与公因数、倍数与公倍数、最大公因数与最小公倍数
【点评】
本题考查因数、倍数、公因数、公倍数的基本概念及基础求解方法，列举法是解决这类问题的常用方法，列举因数时要做到不重复、不遗漏，列举倍数时要注意倍数的无限性，需添加省略号。
【难度系数】
0.8

练习1：12的因数有()，12的倍数有()，30的因数有()，30的倍数有()，12和30的最大公因数是()，最小公倍数是()。
难点：灵活运用因数和倍数的知识解决实际问题。

1,2,3,4,6,12
12,24,36,48,60,…
1,2,3,5,6,10,15,30
30,60,90,…
6
60

例2：王老师拿来52个苹果和79块糖，分给幼儿园的小朋友。苹果和糖都是平均分的，分完后，苹果剩下2个，糖剩下4块。幼儿园最多有多少个小朋友？
分析：由题意可知，苹果分了50个，糖分了75块。每个小朋友分得的苹果和糖都是平均分的，说明小朋友的人数应该是50和75的公因数，求最多有多少个小朋友，就是求50和75的最大公因数。

答案：52−2=50(个)
79−4=75(块)
(50，75)=25
答：幼儿园最多有25个小朋友。

【分析】
首先，我们需要从题目中提取关键信息：苹果和糖平均分后分别剩余2个和4块，那么实际分出去的苹果数量是总苹果数减去剩余量，实际分出去的糖数量是总糖数减去剩余量。因为每个小朋友分得的苹果和糖数量相同，所以小朋友的人数是分出去的苹果数和糖数的公因数。题目要求最多的小朋友数量，也就是求这两个数的最大公因数。
【解析】
1. 计算实际分出去的苹果数量：
$52 - 2 = 50$（个）
2. 计算实际分出去的糖数量：
$79 - 4 = 75$（块）
3. 求50和75的最大公因数：
通过分解质因数可得：
$50 = 2×5×5$
$75 = 3×5×5$
两个数公有的质因数的乘积为最大公因数，即$5×5 = 25$。
【答案】
$52−2=50$（个）
$79−4=75$（块）
$(50,75)=25$
答：幼儿园最多有25个小朋友。
【知识点】
1. 最大公因数的应用
2. 整数减法的实际应用
3. 公因数的概念
【点评】
本题是最大公因数的实际应用题型，核心是将实际问题转化为数学问题，先求出可平均分的苹果和糖的数量，再利用最大公因数的求法解决问题，能有效锻炼学生的转化思维和知识应用能力。
【难度系数】
0.7

练习2：两根钢管分别长12米和18米，把它们截成同样长的小段且没有剩余，每小段钢管最长是多少米？一共可以截成多少段？
练习3：现有语文书42本，数学书112本，英语书70本，平均分成若干堆，每堆中这三种书的数量分别相等。最多可以分成多少堆？每堆都有多少本书？

(12,18)=6
12÷6+18÷6=2+3=5(段)
答:每小段钢管最长是6米,一共可以截成5段。
(42,112,70)=14
42÷14+112÷14+70÷14=3+8+5=16(本)
答:最多可以分成14堆,每堆有16本书。