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1. 2026年时李老师是五十多岁，他的出生日期是ABCD年EF月GH日。其中，C有因数2和3；D是10以内最大的质数；E是非0自然数，且既不是质数也不是合数；F既是质数，又是偶数；G是最小的质数；H既是奇数，又是合数。李老师的出生日期是(
1967
)年(12
)月(29
)日。答案
1. 1967 12 29
解析
【分析】
解题时我们先根据“2026年李老师五十多岁”确定出生年份的大致范围，再结合每个字母对应的数的特征，依次推算出年、月、日每个位置的数字，最后验证结果是否符合常识即可。
【解析】
1. 推算出生年份：
2026年李老师五十多岁，说明年龄在51~59岁之间，出生年份=2026-年龄，因此出生年份在1967年~1975年之间，可得年份前两位A=1、B=9。
C有因数2和3，说明C是2和3的公倍数，10以内符合要求的数只有6，所以C=6；
D是10以内最大的质数，10以内的质数有2、3、5、7，最大的是7，所以D=7；
因此出生年份为1967年，2026年时李老师年龄为2026-1967=59岁，符合五十多岁的条件。
2. 推算月份：
E是非0自然数，且既不是质数也不是合数，符合要求的数只有1，所以E=1；
F既是质数又是偶数，只有2符合要求，所以F=2；
因此月份为12月，符合历法规则。
3. 推算日期：
G是最小的质数，最小的质数是2，所以G=2；
H既是奇数又是合数，10以内符合要求的数只有9，所以H=9；
因此日期为29日，12月有29天，符合常识。
【答案】
1967 12 29
【知识点】
质数与合数的认识，奇数与偶数的认识，因数与倍数的认识
【点评】
本题属于数的认识类综合题，解题核心是熟练掌握各类特殊数的特征，同时需要结合年龄范围、历法常识对推算结果进行验证，避免出现不符合实际的答案。
【难度系数】
0.7
解题时我们先根据“2026年李老师五十多岁”确定出生年份的大致范围，再结合每个字母对应的数的特征，依次推算出年、月、日每个位置的数字，最后验证结果是否符合常识即可。
【解析】
1. 推算出生年份：
2026年李老师五十多岁，说明年龄在51~59岁之间，出生年份=2026-年龄，因此出生年份在1967年~1975年之间，可得年份前两位A=1、B=9。
C有因数2和3，说明C是2和3的公倍数，10以内符合要求的数只有6，所以C=6；
D是10以内最大的质数，10以内的质数有2、3、5、7，最大的是7，所以D=7；
因此出生年份为1967年，2026年时李老师年龄为2026-1967=59岁，符合五十多岁的条件。
2. 推算月份：
E是非0自然数，且既不是质数也不是合数，符合要求的数只有1，所以E=1；
F既是质数又是偶数，只有2符合要求，所以F=2；
因此月份为12月，符合历法规则。
3. 推算日期：
G是最小的质数，最小的质数是2，所以G=2；
H既是奇数又是合数，10以内符合要求的数只有9，所以H=9；
因此日期为29日，12月有29天，符合常识。
【答案】
1967 12 29
【知识点】
质数与合数的认识，奇数与偶数的认识，因数与倍数的认识
【点评】
本题属于数的认识类综合题，解题核心是熟练掌握各类特殊数的特征，同时需要结合年龄范围、历法常识对推算结果进行验证，避免出现不符合实际的答案。
【难度系数】
0.7
2.从0,3,7,8中选3个数,按要求组成三位数。
（1）最大的奇数:(
（2）最小的偶数:(
（3）同时是2和5的倍数的最大三位数:(
（4）同时是3和5的倍数的最小三位数:(
（1）最大的奇数:(
873
)。（2）最小的偶数:(
308
)。（3）同时是2和5的倍数的最大三位数:(
870
)。（4）同时是3和5的倍数的最小三位数:(
780
)。答案
2.（1）873 （2）308 （3）870 （4）780
解析
【分析】
解题前先明确相关核心规则：①奇数的个位是1、3、5、7、9，偶数的个位是0、2、4、6、8；②同时是2和5的倍数的数，个位一定是0；③3的倍数特征是各位数字之和是3的倍数，5的倍数的个位是0或5；④组成三位数时百位不能为0，要组最大数就把大数字放高位，要组最小数就把小数字尽量放高位（首位不为0）。
各小问解题思路：
（1）最大奇数：先确定个位必须是奇数，再优先把大数字放在高位；
（2）最小偶数：先确定个位必须是偶数，再优先把小数字放在高位（注意首位不能为0）；
（3）同时是2和5的倍数：先确定个位是0，再选最大的两个数字按从大到小排高位；
（4）同时是3和5的倍数：先确定个位只能是0（给定数字无5），再选和0相加是3的倍数的两个数，最后组成最小三位数。
【解析】
（1）要组最大奇数，个位需选奇数3或7，要数最大，百位选最大的8，十位选次大的7，个位选奇数3，得到873；
（2）要组最小偶数，个位需选偶数0或8，要数最小，百位不能为0，选最小的3，十位选最小的0，个位选偶数8，得到308；
（3）同时是2和5的倍数，个位一定是0，要数最大，百位选剩余数字里最大的8，十位选次大的7，得到870；
（4）同时是3和5的倍数，个位只能是0，且三个数字和是3的倍数：0+3+7=10（不是3的倍数）、0+3+8=11（不是3的倍数）、0+7+8=15（是3的倍数），所以选7、8、0三个数，组最小三位数为780。
【答案】
（1）873 （2）308 （3）870 （4）780
【知识点】
奇数与偶数的认识，2、3、5的倍数特征，万以内数的组成
【点评】
本题综合考查数的组成与特殊数的倍数特征，解题时要优先确定有明确限制的数位（如个位），再按大小要求排列剩余数位，注意三位数首位不能为0，多限制条件的题目要逐一核对要求，避免遗漏条件出错。
【难度系数】
0.7
解题前先明确相关核心规则：①奇数的个位是1、3、5、7、9，偶数的个位是0、2、4、6、8；②同时是2和5的倍数的数，个位一定是0；③3的倍数特征是各位数字之和是3的倍数，5的倍数的个位是0或5；④组成三位数时百位不能为0，要组最大数就把大数字放高位，要组最小数就把小数字尽量放高位（首位不为0）。
各小问解题思路：
（1）最大奇数：先确定个位必须是奇数，再优先把大数字放在高位；
（2）最小偶数：先确定个位必须是偶数，再优先把小数字放在高位（注意首位不能为0）；
（3）同时是2和5的倍数：先确定个位是0，再选最大的两个数字按从大到小排高位；
（4）同时是3和5的倍数：先确定个位只能是0（给定数字无5），再选和0相加是3的倍数的两个数，最后组成最小三位数。
【解析】
（1）要组最大奇数，个位需选奇数3或7，要数最大，百位选最大的8，十位选次大的7，个位选奇数3，得到873；
（2）要组最小偶数，个位需选偶数0或8，要数最小，百位不能为0，选最小的3，十位选最小的0，个位选偶数8，得到308；
（3）同时是2和5的倍数，个位一定是0，要数最大，百位选剩余数字里最大的8，十位选次大的7，得到870；
（4）同时是3和5的倍数，个位只能是0，且三个数字和是3的倍数：0+3+7=10（不是3的倍数）、0+3+8=11（不是3的倍数）、0+7+8=15（是3的倍数），所以选7、8、0三个数，组最小三位数为780。
【答案】
（1）873 （2）308 （3）870 （4）780
【知识点】
奇数与偶数的认识，2、3、5的倍数特征，万以内数的组成
【点评】
本题综合考查数的组成与特殊数的倍数特征，解题时要优先确定有明确限制的数位（如个位），再按大小要求排列剩余数位，注意三位数首位不能为0，多限制条件的题目要逐一核对要求，避免遗漏条件出错。
【难度系数】
0.7
3.符合条件的数一共有多少对？
答案
3. 2对
解析
【分析】
解题时先结合最大公因数的意义，把两个合数表示为含公因数的形式：因为两个数的最大公因数是10，说明两个数都是10的倍数，可设为10a和10b，其中a和b互质（即a和b的最大公因数是1）。再根据两个数的最小公倍数=最大公因数×a×b，结合已知的最小公倍数120算出a和b的乘积，最后找出乘积符合要求、且互质的正整数对，对应验证两个数都是合数，统计符合条件的数对数量即可。
【解析】
1. 设这两个合数分别为10a和10b（a、b为正整数，且a和b互质）。
2. 两个数的最小公倍数为$10× a× b$，已知最小公倍数是120，因此：
$10ab=120$
计算得$ab=12$
3. 找出乘积为12、且互质的正整数对（不考虑顺序）：
12的因数对有（1,12）、（2,6）、（3,4），其中互质的是（1,12）和（3,4）（（2,6）有公因数2，不符合互质要求，排除）。
4. 对应得到两组数：
① 当a=1、b=12时，两个数为$10×1=10$，$10×12=120$，二者都是合数，符合要求；
② 当a=3、b=4时，两个数为$10×3=30$，$10×4=40$，二者都是合数，符合要求。
因此符合条件的数一共有2对。
【答案】
2对
【知识点】
最大公因数，最小公倍数，合数的认识
【点评】
本题考查最大公因数和最小公倍数的关联应用，解题核心是通过最大公因数将两个数拆分，结合最小公倍数求出互质的因数对，再筛选符合合数要求的组合即可。
【难度系数】
0.6
解题时先结合最大公因数的意义，把两个合数表示为含公因数的形式：因为两个数的最大公因数是10，说明两个数都是10的倍数，可设为10a和10b，其中a和b互质（即a和b的最大公因数是1）。再根据两个数的最小公倍数=最大公因数×a×b，结合已知的最小公倍数120算出a和b的乘积，最后找出乘积符合要求、且互质的正整数对，对应验证两个数都是合数，统计符合条件的数对数量即可。
【解析】
1. 设这两个合数分别为10a和10b（a、b为正整数，且a和b互质）。
2. 两个数的最小公倍数为$10× a× b$，已知最小公倍数是120，因此：
$10ab=120$
计算得$ab=12$
3. 找出乘积为12、且互质的正整数对（不考虑顺序）：
12的因数对有（1,12）、（2,6）、（3,4），其中互质的是（1,12）和（3,4）（（2,6）有公因数2，不符合互质要求，排除）。
4. 对应得到两组数：
① 当a=1、b=12时，两个数为$10×1=10$，$10×12=120$，二者都是合数，符合要求；
② 当a=3、b=4时，两个数为$10×3=30$，$10×4=40$，二者都是合数，符合要求。
因此符合条件的数一共有2对。
【答案】
2对
【知识点】
最大公因数，最小公倍数，合数的认识
【点评】
本题考查最大公因数和最小公倍数的关联应用，解题核心是通过最大公因数将两个数拆分，结合最小公倍数求出互质的因数对，再筛选符合合数要求的组合即可。
【难度系数】
0.6
4. 新趋势说理表达 乐乐用46根小棒摆图形，摆一个四边形用4根小棒，摆一个六边形用6根小棒。他摆了一些独立的四边形和六边形后，说自己剩下了11根小棒，他说得对吗？为什么？
答案
4. 他说得不对 因为每个四边形和六边形用小棒的根数都是偶数,所以乐乐无论摆几个独立的四边形,用的小棒根数是偶数,无论摆几个独立的六边形,用的小棒根数也是偶数,乐乐用的小棒总根数一定是偶数。乐乐说自己剩下了11根小棒,则他用的小棒的总根数是46-11=35,35是奇数,所以他说得不对
解析
【分析】
要判断乐乐说得对不对，我们可以按以下思路思考：首先先假设剩下11根小棒，算出摆图形用掉的小棒总根数；再分析摆四边形、六边形用掉的小棒数的奇偶性特征：不管摆多少个四边形，总用棒数都是4的倍数，是偶数；不管摆多少个六边形，总用棒数都是6的倍数，也是偶数，偶数加偶数的和还是偶数，所以总用棒数一定是偶数；最后将计算出的用棒数的奇偶性和推理得到的特征对比，若不一致则说明乐乐说法错误。
【解析】
1. 计算若剩下11根小棒时，用掉的小棒数量：
$46-11=35$（根）
2. 分析摆图形用棒总数的奇偶性：
摆1个四边形用4根（偶数），摆若干个四边形的总用棒数是若干个偶数相加，结果为偶数；摆1个六边形用6根（偶数），摆若干个六边形的总用棒数也是若干个偶数相加，结果为偶数。根据偶数+偶数=偶数，可知摆两种图形的总用棒数一定是偶数。
3. 对比判断：
计算得到的用棒数35是奇数，和“总用棒数为偶数”的结论矛盾，因此乐乐的说法不对。
【答案】
他说得不对。因为每个四边形和六边形用小棒的根数都是偶数，所以乐乐无论摆几个独立的四边形，用的小棒根数是偶数，无论摆几个独立的六边形，用的小棒根数也是偶数，乐乐用的小棒总根数一定是偶数。乐乐说自己剩下了11根小棒，则他用的小棒的总根数是46-11=35，35是奇数，所以他说得不对。
【知识点】
1. 奇偶性应用
2. 偶数运算性质
【点评】
本题结合摆图形的生活情境，考查奇偶性规律的实际应用，无需复杂计算，通过奇偶性的运算特征即可快速判断，能有效锻炼逻辑推理能力和说理表达能力。
【难度系数】
0.7
要判断乐乐说得对不对，我们可以按以下思路思考：首先先假设剩下11根小棒，算出摆图形用掉的小棒总根数；再分析摆四边形、六边形用掉的小棒数的奇偶性特征：不管摆多少个四边形，总用棒数都是4的倍数，是偶数；不管摆多少个六边形，总用棒数都是6的倍数，也是偶数，偶数加偶数的和还是偶数，所以总用棒数一定是偶数；最后将计算出的用棒数的奇偶性和推理得到的特征对比，若不一致则说明乐乐说法错误。
【解析】
1. 计算若剩下11根小棒时，用掉的小棒数量：
$46-11=35$（根）
2. 分析摆图形用棒总数的奇偶性：
摆1个四边形用4根（偶数），摆若干个四边形的总用棒数是若干个偶数相加，结果为偶数；摆1个六边形用6根（偶数），摆若干个六边形的总用棒数也是若干个偶数相加，结果为偶数。根据偶数+偶数=偶数，可知摆两种图形的总用棒数一定是偶数。
3. 对比判断：
计算得到的用棒数35是奇数，和“总用棒数为偶数”的结论矛盾，因此乐乐的说法不对。
【答案】
他说得不对。因为每个四边形和六边形用小棒的根数都是偶数，所以乐乐无论摆几个独立的四边形，用的小棒根数是偶数，无论摆几个独立的六边形，用的小棒根数也是偶数，乐乐用的小棒总根数一定是偶数。乐乐说自己剩下了11根小棒，则他用的小棒的总根数是46-11=35，35是奇数，所以他说得不对。
【知识点】
1. 奇偶性应用
2. 偶数运算性质
【点评】
本题结合摆图形的生活情境，考查奇偶性规律的实际应用，无需复杂计算，通过奇偶性的运算特征即可快速判断，能有效锻炼逻辑推理能力和说理表达能力。
【难度系数】
0.7
5. 五年级四个班的人数如表所示。各个班准备分学习小组（不能仅分成1个小组或每个小组仅1人）。这四个班中，哪些班能分成各组人数都相同的学习小组？哪些班不能分成各组人数都相同的学习小组？请说明理由。
答案
5. 二班和四班能分成各组人数都相同的学习小组,一班和三班不能分成各组人数都相同的学习小组
理由:41只有1和41两个因数,是质数,所以一班不能分成各组人数都相同的学习小组。36的因数有1,2,3,4,6,9,12,18,36,所以二班能分成各组人数都相同的学习小组。37只有1和37两个因数,是质数,所以三班不能分成各组人数都相同的学习小组。42的因数有1,2,3,6,7,14,21,42,所以四班能分成各组人数都相同的学习小组。
理由:41只有1和41两个因数,是质数,所以一班不能分成各组人数都相同的学习小组。36的因数有1,2,3,4,6,9,12,18,36,所以二班能分成各组人数都相同的学习小组。37只有1和37两个因数,是质数,所以三班不能分成各组人数都相同的学习小组。42的因数有1,2,3,6,7,14,21,42,所以四班能分成各组人数都相同的学习小组。
解析
【分析】
首先明确分组规则：不能仅分1个小组，也不能每个小组仅1人，这意味着班级总人数除了1和它本身之外，还需要有其他的正因数。我们学过，只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身还有其他因数的数是合数，因此本题本质是判断四个班的人数是质数还是合数：若为合数则能按要求分组，若为质数则不能按要求分组，接下来我们逐个判断四个班级人数的属性即可。
【解析】
要满足题目分组要求，班级总人数需要是除了1和自身外还有其他因数的合数，我们逐个分析：
1. 一班人数41：41的因数只有1和41，是质数，不满足分组条件；
2. 二班人数36：36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，除1和自身外还有其他因数，是合数，满足分组条件；
3. 三班人数37：37的因数只有1和37，是质数，不满足分组条件；
4. 四班人数42：42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42，除1和自身外还有其他因数，是合数，满足分组条件。
【答案】
二班和四班能分成各组人数都相同的学习小组,一班和三班不能分成各组人数都相同的学习小组
理由:41只有1和41两个因数,是质数,所以一班不能分成各组人数都相同的学习小组。36的因数有1,2,3,4,6,9,12,18,36,所以二班能分成各组人数都相同的学习小组。37只有1和37两个因数,是质数,所以三班不能分成各组人数都相同的学习小组。42的因数有1,2,3,6,7,14,21,42,所以四班能分成各组人数都相同的学习小组。
【知识点】
1. 质数与合数的判定
2. 因数的认识
【点评】
本题结合实际分组场景考查质数、合数的应用，解题核心是将分组要求转化为对数字质合属性的判断，能有效加深对质数、合数概念和性质的理解。
【难度系数】
0.8
首先明确分组规则：不能仅分1个小组，也不能每个小组仅1人，这意味着班级总人数除了1和它本身之外，还需要有其他的正因数。我们学过，只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身还有其他因数的数是合数，因此本题本质是判断四个班的人数是质数还是合数：若为合数则能按要求分组，若为质数则不能按要求分组，接下来我们逐个判断四个班级人数的属性即可。
【解析】
要满足题目分组要求，班级总人数需要是除了1和自身外还有其他因数的合数，我们逐个分析：
1. 一班人数41：41的因数只有1和41，是质数，不满足分组条件；
2. 二班人数36：36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，除1和自身外还有其他因数，是合数，满足分组条件；
3. 三班人数37：37的因数只有1和37，是质数，不满足分组条件；
4. 四班人数42：42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42，除1和自身外还有其他因数，是合数，满足分组条件。
【答案】
二班和四班能分成各组人数都相同的学习小组,一班和三班不能分成各组人数都相同的学习小组
理由:41只有1和41两个因数,是质数,所以一班不能分成各组人数都相同的学习小组。36的因数有1,2,3,4,6,9,12,18,36,所以二班能分成各组人数都相同的学习小组。37只有1和37两个因数,是质数,所以三班不能分成各组人数都相同的学习小组。42的因数有1,2,3,6,7,14,21,42,所以四班能分成各组人数都相同的学习小组。
【知识点】
1. 质数与合数的判定
2. 因数的认识
【点评】
本题结合实际分组场景考查质数、合数的应用，解题核心是将分组要求转化为对数字质合属性的判断，能有效加深对质数、合数概念和性质的理解。
【难度系数】
0.8
6. 新情境 生物百科 猫的平均寿命约为15岁，狗的平均寿命约为13岁，小花家有两只猫，一只狗，三只动物的年龄是三个相邻的偶数，积是192。
答案
6. 192=2×2×2×2×2×2×3=(2×2)×(2×3)×(2×2×2)=4×6×8 答:年龄各是4岁、6岁、8岁。
解析
【分析】
解题时先明确题目两个核心条件：一是三只动物的年龄为三个相邻偶数，二是三个年龄的乘积是192。我们可以先把192分解质因数，再将得到的质因数进行组合，凑出三个连续的偶数，就能求出三个动物的年龄。
【解析】
第一步：对192分解质因数：
$192=2×2×2×2×2×2×3$
第二步：将质因数组合为三个相邻的偶数：
把质因数分组可得：$2×2=4$，$2×3=6$，$2×2×2=8$
4、6、8是相邻的偶数，且$4×6×8=192$，符合题目要求。
【答案】
三只动物的年龄各是4岁、6岁、8岁。
【知识点】
分解质因数，偶数的特征，因数组合
【点评】
本题结合宠物年龄的生活化场景出题，趣味性较强，既考查了分解质因数的基础运算能力，也考查了灵活组合因数解决实际问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先明确题目两个核心条件：一是三只动物的年龄为三个相邻偶数，二是三个年龄的乘积是192。我们可以先把192分解质因数，再将得到的质因数进行组合，凑出三个连续的偶数，就能求出三个动物的年龄。
【解析】
第一步：对192分解质因数：
$192=2×2×2×2×2×2×3$
第二步：将质因数组合为三个相邻的偶数：
把质因数分组可得：$2×2=4$，$2×3=6$，$2×2×2=8$
4、6、8是相邻的偶数，且$4×6×8=192$，符合题目要求。
【答案】
三只动物的年龄各是4岁、6岁、8岁。
【知识点】
分解质因数，偶数的特征，因数组合
【点评】
本题结合宠物年龄的生活化场景出题，趣味性较强，既考查了分解质因数的基础运算能力，也考查了灵活组合因数解决实际问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
7.你能把65,66,77,85,91,102这六个数分成两组,使每组的乘积相等吗?
答案
7. 第一组:85,66,91 第二组:102,65,77
解析:65=13×5,66=2×3×11,77=11×7,85=17×5,91=13×7,102=2×3×17。把这六个数的乘积分解质因数为65×66×77×85×91×102=2×2×3×3×5×5×7×7×11×11×13×13×17×17,分成两组,每组的乘积相等,则每组的乘积的质因数为2,3,5,7,11,13,17。85和102都有质因数17,把这两个数分别放在第一、二组;第一组的85有质因数5,65也有质因数5,就把65放在第二组;第二组的102有质因数2和3,66也有质因数2和3,就把66放在第一组;第一组的66有质因数11,77也有质因数11,就把77放在第二组;第二组的77有质因数7,91也有质因数7,就把91放在第一组。
解析:65=13×5,66=2×3×11,77=11×7,85=17×5,91=13×7,102=2×3×17。把这六个数的乘积分解质因数为65×66×77×85×91×102=2×2×3×3×5×5×7×7×11×11×13×13×17×17,分成两组,每组的乘积相等,则每组的乘积的质因数为2,3,5,7,11,13,17。85和102都有质因数17,把这两个数分别放在第一、二组;第一组的85有质因数5,65也有质因数5,就把65放在第二组;第二组的102有质因数2和3,66也有质因数2和3,就把66放在第一组;第一组的66有质因数11,77也有质因数11,就把77放在第二组;第二组的77有质因数7,91也有质因数7,就把91放在第一组。
解析
【分析】
要让两组数的乘积相等，核心是两组数包含的质因数种类、每种质因数的个数完全相同。解题时首先要把六个数全部分解质因数，统计后可知每种质因数都有2个，因此每组需要各分到1个每种质因数，再按照“含有相同质因数的数分在不同组”的规则逐步分组即可。
【解析】
1. 先把六个数分别分解质因数：
$65=13×5$
$66=2×3×11$
$77=11×7$
$85=17×5$
$91=13×7$
$102=2×3×17$
2. 统计所有质因数的总数量：2、3、5、7、11、13、17各有2个，因此每组乘积的质因数需要包含上述7个质因数各1个。
3. 逐步分组：
① 85和102都含质因数17，分在不同组：第一组放85，第二组放102；
② 第一组85含质因数5，剩下含5的数是65，将65放在第二组；
③ 第二组102含质因数2和3，剩下含2和3的数是66，将66放在第一组；
④ 第一组66含质因数11，剩下含11的数是77，将77放在第二组；
⑤ 第二组77含质因数7，剩下含7的数是91，将91放在第一组。
最终两组的质因数完全一致，乘积相等。
【答案】
第一组:85,66,91 第二组:102,65,77
【知识点】
1. 分解质因数
2. 乘积的质因数特征
3. 逻辑分组
【点评】
本题重点考察分解质因数的灵活运用，解题关键是抓住乘积相等的两组本质是质因数完全相同的特点，通过逐步推理完成分组，能有效锻炼逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
要让两组数的乘积相等，核心是两组数包含的质因数种类、每种质因数的个数完全相同。解题时首先要把六个数全部分解质因数，统计后可知每种质因数都有2个，因此每组需要各分到1个每种质因数，再按照“含有相同质因数的数分在不同组”的规则逐步分组即可。
【解析】
1. 先把六个数分别分解质因数：
$65=13×5$
$66=2×3×11$
$77=11×7$
$85=17×5$
$91=13×7$
$102=2×3×17$
2. 统计所有质因数的总数量：2、3、5、7、11、13、17各有2个，因此每组乘积的质因数需要包含上述7个质因数各1个。
3. 逐步分组：
① 85和102都含质因数17，分在不同组：第一组放85，第二组放102；
② 第一组85含质因数5，剩下含5的数是65，将65放在第二组；
③ 第二组102含质因数2和3，剩下含2和3的数是66，将66放在第一组；
④ 第一组66含质因数11，剩下含11的数是77，将77放在第二组；
⑤ 第二组77含质因数7，剩下含7的数是91，将91放在第一组。
最终两组的质因数完全一致，乘积相等。
【答案】
第一组:85,66,91 第二组:102,65,77
【知识点】
1. 分解质因数
2. 乘积的质因数特征
3. 逻辑分组
【点评】
本题重点考察分解质因数的灵活运用，解题关键是抓住乘积相等的两组本质是质因数完全相同的特点，通过逐步推理完成分组，能有效锻炼逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
四、用公因数和公倍数的知识解决问题
8. 新情境 生活应用 每年的4月1日是国际爱鸟日，幸福小学组织同学们在一片长是78米、宽是60米的长方形小树林四周等距离挂上鸟窝(4个角上都挂)。每相邻两个鸟窝之间的距离最大是多少？这时要准备多少个鸟窝？
8. 新情境 生活应用 每年的4月1日是国际爱鸟日，幸福小学组织同学们在一片长是78米、宽是60米的长方形小树林四周等距离挂上鸟窝(4个角上都挂)。每相邻两个鸟窝之间的距离最大是多少？这时要准备多少个鸟窝？
答案
8. 78和60的最大公因数是6 (78+60)×2÷6=46(个)
答:每相邻两个鸟窝之间的距离最大是6米,这时要准备46个鸟窝。
答:每相邻两个鸟窝之间的距离最大是6米,这时要准备46个鸟窝。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先思考：要在长方形四周等距离挂鸟窝且四个角都挂，那么相邻鸟窝的距离必须同时是长78米和宽60米的公因数，要求距离最大，就是求78和60的最大公因数。接下来求鸟窝数量，这属于封闭图形的植树问题，封闭图形中“植树棵数=间隔数”，所以先算出长方形的周长，再用周长除以最大间隔距离，就能得到鸟窝的总数量。
【解析】
1. 求78和60的最大公因数：
用短除法计算，先同时除以公因数2，得到39和30；再同时除以公因数3，得到13和10，13和10互质，因此78和60的最大公因数是2×3=6，即相邻两个鸟窝的最大距离是6米。
2. 计算鸟窝数量：
先计算长方形小树林的周长：$(78+60)×2=276$（米）
因为封闭图形中鸟窝个数等于间隔数，所以鸟窝总数为：$276÷6=46$（个）
【答案】
每相邻两个鸟窝之间的距离最大是6米，这时要准备46个鸟窝。
【知识点】
最大公因数的应用；封闭图形植树问题；长方形周长计算
【点评】
本题结合生活实际情境，将最大公因数的知识和植树问题结合考查，需要学生先把生活问题转化为数学问题，再运用相关规律求解，能够锻炼学生的知识迁移和实际应用能力。
【难度系数】
0.65
要解决这个问题，首先思考：要在长方形四周等距离挂鸟窝且四个角都挂，那么相邻鸟窝的距离必须同时是长78米和宽60米的公因数，要求距离最大，就是求78和60的最大公因数。接下来求鸟窝数量，这属于封闭图形的植树问题，封闭图形中“植树棵数=间隔数”，所以先算出长方形的周长，再用周长除以最大间隔距离，就能得到鸟窝的总数量。
【解析】
1. 求78和60的最大公因数：
用短除法计算，先同时除以公因数2，得到39和30；再同时除以公因数3，得到13和10，13和10互质，因此78和60的最大公因数是2×3=6，即相邻两个鸟窝的最大距离是6米。
2. 计算鸟窝数量：
先计算长方形小树林的周长：$(78+60)×2=276$（米）
因为封闭图形中鸟窝个数等于间隔数，所以鸟窝总数为：$276÷6=46$（个）
【答案】
每相邻两个鸟窝之间的距离最大是6米，这时要准备46个鸟窝。
【知识点】
最大公因数的应用；封闭图形植树问题；长方形周长计算
【点评】
本题结合生活实际情境，将最大公因数的知识和植树问题结合考查，需要学生先把生活问题转化为数学问题，再运用相关规律求解，能够锻炼学生的知识迁移和实际应用能力。
【难度系数】
0.65
