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9.(2024·锡山区期末)若一个一次函数满足下列两个条件：①$y$随$x$的增大而增大；②图象经过点$(1,-3)$.那么这个一次函数的表达式可以是
y=x-4(答案不唯一)
.答案
9.y=x-4(答案不唯一)
10. 如图,一次函数的图象经过点$M(-1,4)$,与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B(0,6)$.
(1)求直线$AB$的函数表达式;
(2)若$P(m,n)$是直线$AB$上的一个动点,且$-3 ≤ m ≤ 2$,求$n$的取值范围.
(1)求直线$AB$的函数表达式;
(2)若$P(m,n)$是直线$AB$上的一个动点,且$-3 ≤ m ≤ 2$,求$n$的取值范围.
答案
10.解:(1)设直线AB的函数表达式是$y=kx+b(k≠0)$.
将$B(0,6),M(-1,4)$代入,得
$\begin{cases} b=6, \\ -k+b=4, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} b=6, \\ k=2, \end{cases}$
故直线$AB$的函数表达式是$y=2x+6$.
(2)
∵$P(m,n)$是直线$AB$上的一个动点,
∴$n=2m+6$.
∵$2＞0$,
∴$n$随着$m$的增大而增大.
∵$-3≤m≤2$,
∴当$m=-3$时,$n$取最小值$0$;
当$m=2$时,$n$取最大值$10$,
∴$n$的取值范围是$0≤n≤10$.
将$B(0,6),M(-1,4)$代入,得
$\begin{cases} b=6, \\ -k+b=4, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} b=6, \\ k=2, \end{cases}$
故直线$AB$的函数表达式是$y=2x+6$.
(2)
∵$P(m,n)$是直线$AB$上的一个动点,
∴$n=2m+6$.
∵$2＞0$,
∴$n$随着$m$的增大而增大.
∵$-3≤m≤2$,
∴当$m=-3$时,$n$取最小值$0$;
当$m=2$时,$n$取最大值$10$,
∴$n$的取值范围是$0≤n≤10$.
11. (2024·天宁区期末)如图,直线 $y=x+b(b＞0)$ 分别交 $x$ 轴,$y$ 轴于点 $A,B$,直线 $y=kx(k＜0)$ 与直线 $y=x+b(b＞0)$ 交于点 $C$,且点 $C$ 在第二象限,过 $A,B$ 两点分别作 $AD ⊥ CO$ 于点 $D$,$BE ⊥ CO$ 于点 $E$,且 $BE+BO=8$,$AD=4$,求 $ED$ 的长.
答案
11.解:在$y=x+b(b＞0)$中,令$x=0$,得$y=b$;令$y=0$,得$x=-b$,
∴$A(-b,0)$,$B(0,b)$,
∴$OA=OB$.
∵$AD⊥CO$,$BE⊥CO$,
∴$∠ADO=∠OEB=90°$,
∴$∠DAO+∠AOD=∠EOB+∠AOD=90°$,
∴$∠DAO=∠EOB$,
∴$△AOD≌△OBE(AAS)$,
∴$BE=OD$,$OE=AD=4$.
∵$BE+BO=8$,
∴$OB=8-BE$.
∵$OB^2=BE^2+OE^2$,
∴$(8-BE)^2=BE^2+4^2$,
∴$BE=3$,
∴$DE=OE-OD=AD-BE=4-3=1$.
∴$A(-b,0)$,$B(0,b)$,
∴$OA=OB$.
∵$AD⊥CO$,$BE⊥CO$,
∴$∠ADO=∠OEB=90°$,
∴$∠DAO+∠AOD=∠EOB+∠AOD=90°$,
∴$∠DAO=∠EOB$,
∴$△AOD≌△OBE(AAS)$,
∴$BE=OD$,$OE=AD=4$.
∵$BE+BO=8$,
∴$OB=8-BE$.
∵$OB^2=BE^2+OE^2$,
∴$(8-BE)^2=BE^2+4^2$,
∴$BE=3$,
∴$DE=OE-OD=AD-BE=4-3=1$.
12. (2024·鼓楼区期末)如图,直线 $l_1:y=x+4$ 与过点 $A(4,0)$ 的直线 $l_2$ 交于点 $B(\dfrac{4}{3},m)$,与 $x$ 轴,$y$ 轴分别交于点 $C,D$,直线 $l_2$ 交 $y$ 轴于点 $E$.
(1)求直线 $l_2$ 的函数表达式；
(2)若点 $M$ 在直线 $l_1$ 上,$MN// y$ 轴,交直线 $l_2$ 于点 $N$,且 $MN=AC$,求点 $M$ 的坐标；
(3)若点 $P$ 在直线 $l_1$ 上,以 $P,D,E$ 为顶点的三角形为直角三角形,请直接写出点 $P$ 的坐标.
(1)求直线 $l_2$ 的函数表达式；
(2)若点 $M$ 在直线 $l_1$ 上,$MN// y$ 轴,交直线 $l_2$ 于点 $N$,且 $MN=AC$,求点 $M$ 的坐标；
(3)若点 $P$ 在直线 $l_1$ 上,以 $P,D,E$ 为顶点的三角形为直角三角形,请直接写出点 $P$ 的坐标.
答案
12.解:(1)在$y=x+4$中,当$x=\frac{4}{3}$时,$y=\frac{4}{3}+4=\frac{16}{3}$,
∴$B(\frac{4}{3},\frac{16}{3})$.
设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b$,将$B(\frac{4}{3},\frac{16}{3})$,$A(4,0)$代入,得$\begin{cases} \frac{4}{3}k+b=\frac{16}{3}, \\ 4k+b=0, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-2, \\ b=8, \end{cases}$
∴直线$l_2$的函数表达式为$y=-2x+8$.
(2)在$y=x+4$中,当$y=0$时,$x=-4$,
∴$C(-4,0)$,$AC=4-(-4)=8$.
设$M(m,m+4)$,则$N(m,-2m+8)$,
∴$MN=|m+4-(-2m+8)|=|3m-4|$.
∵$MN=AC$,
∴$|3m-4|=8$,
∴$3m-4=8$或$3m-4=-8$,
∴$m=4$或$m=-\frac{4}{3}$,
∴点$M$的坐标为$(4,8)$或$(-\frac{4}{3},\frac{8}{3})$.
(3)在$y=x+4$中,当$x=0$时,$y=4$,
∴$D(0,4)$.
在$y=-2x+8$中,当$x=0$时,$y=8$,
∴$E(0,8)$.
当$∠PDE=90°$时,$PD⊥y$轴,
∴点$P$的纵坐标为$4$,此时点$P$与点$D$重合,不符合题意;
当$∠PED=90°$时,$PE⊥y$轴,
∴点$P$的纵坐标为$8$.
在$y=x+4$中,当$y=8$时,$x=4$,此时点$P$的坐标为$(4,8)$.
当$∠DPE=90°$时,
∵$OC=OD=4$,
∴$∠PDE=∠CDO=45°$,
∴$△PDE$是等腰直角三角形,
∴$PE=PD$,
∴点$P$在线段$DE$的垂直平分线上,
∴点$P$的纵坐标为$6$.
在$y=x+4$中,当$y=6$时,$x=2$,此时点$P$的坐标为$(2,6)$.
综上所述,点$P$的坐标为$(4,8)$或$(2,6)$.
∴$B(\frac{4}{3},\frac{16}{3})$.
设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b$,将$B(\frac{4}{3},\frac{16}{3})$,$A(4,0)$代入,得$\begin{cases} \frac{4}{3}k+b=\frac{16}{3}, \\ 4k+b=0, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-2, \\ b=8, \end{cases}$
∴直线$l_2$的函数表达式为$y=-2x+8$.
(2)在$y=x+4$中,当$y=0$时,$x=-4$,
∴$C(-4,0)$,$AC=4-(-4)=8$.
设$M(m,m+4)$,则$N(m,-2m+8)$,
∴$MN=|m+4-(-2m+8)|=|3m-4|$.
∵$MN=AC$,
∴$|3m-4|=8$,
∴$3m-4=8$或$3m-4=-8$,
∴$m=4$或$m=-\frac{4}{3}$,
∴点$M$的坐标为$(4,8)$或$(-\frac{4}{3},\frac{8}{3})$.
(3)在$y=x+4$中,当$x=0$时,$y=4$,
∴$D(0,4)$.
在$y=-2x+8$中,当$x=0$时,$y=8$,
∴$E(0,8)$.
当$∠PDE=90°$时,$PD⊥y$轴,
∴点$P$的纵坐标为$4$,此时点$P$与点$D$重合,不符合题意;
当$∠PED=90°$时,$PE⊥y$轴,
∴点$P$的纵坐标为$8$.
在$y=x+4$中,当$y=8$时,$x=4$,此时点$P$的坐标为$(4,8)$.
当$∠DPE=90°$时,
∵$OC=OD=4$,
∴$∠PDE=∠CDO=45°$,
∴$△PDE$是等腰直角三角形,
∴$PE=PD$,
∴点$P$在线段$DE$的垂直平分线上,
∴点$P$的纵坐标为$6$.
在$y=x+4$中,当$y=6$时,$x=2$,此时点$P$的坐标为$(2,6)$.
综上所述,点$P$的坐标为$(4,8)$或$(2,6)$.
